Значение геометрической прогрессии. Геометрическая прогрессия

Рассмотрим некоторый ряд.

7 28 112 448 1792...

Совершенно ясно видно, что значение любого его элемента больше предыдущего ровно в четыре раза. Значит, данный ряд является прогрессией.

Геометрической прогрессиейименуется бесконечная последовательность чисел, главной особенностью которой является то, что следующее число получается из предыдущего посредством умножения на какое-то определенное число. Это выражается следующей формулой.

a z +1 =a z ·q, где z - номер выбранного элемента.

Соответственно, z ∈ N.

Период, когда в школе изучается геометрическая прогрессия - 9 класс. Примеры помогут разобраться в понятии:

0.25 0.125 0.0625...

Исходя из этой формулы, знаменатель прогрессии возможно найти следующим образом:

Ни q, ни b z не могут равняться нулю. Так же каждый из элементов прогрессии не должен равняться нулю.

Соответственно, чтобы узнать следующее число ряда, нужно умножить последнее на q.

Чтобы задать данную прогрессию, необходимо указать первый ее элемент и знаменатель. После этого возможно нахождение любого из последующих членов и их суммы.

Разновидности

В зависимости от q и a 1, данная прогрессия разделяется на несколько видов:

• Если и a 1 , и q больше единицы, то такая последовательность - возрастающая с каждым следующим элементом геометрическая прогрессия. Пример таковой представлен далее.

Пример: a 1 =3, q=2 - оба параметра больше единицы.

Тогда числовая последовательность может быть записана так:

3 6 12 24 48 ...

• Если |q| меньше единицы, то есть, умножение на него эквивалентно делению, то прогрессия с подобными условиями - убывающая геометрическая прогрессия. Пример таковой представлен далее.

Пример: a 1 =6, q=1/3 - a 1 больше единицы, q - меньше.

Тогда числовую последовательность можно записать таким образом:

6 2 2/3 ... - любой элемент больше элемента, следующего за ним, в 3 раза.

• Знакопеременная. Если q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Пример: a 1 = -3 , q = -2 - оба параметра меньше нуля.

Тогда числовую последовательность можно записать так:

3, 6, -12, 24,...

Формулы

Для удобного использования геометрических прогрессий существует множество формул:

• Формула z-го члена. Позволяет рассчитать элемент, стоящий под конкретным номером без расчета предыдущих чисел.

Пример: q = 3, a 1 = 4. Требуется посчитать четвертый элемент прогрессии.

Решение: a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Сумма первых элементов, чье количество равно z . Позволяет рассчитать сумму всех элементов последовательности до a z включительно.

Так как (1- q ) стоит в знаменателе, то (1 - q) ≠ 0, следовательно, q не равно 1.

Замечание: если бы q=1, то прогрессия представляла бы собой ряд из бесконечно повторяющегося числа.

Сумма геометрической прогрессии, примеры: a 1 = 2, q = -2. Посчитать S 5 .

Решение: S 5 = 22 - расчет по формуле.

• Сумма, если | q | < 1 и если z стремится к бесконечности.

Пример: a 1 = 2 , q = 0.5. Найти сумму.

Решение: S z = 2 · = 4

S z = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Некоторые свойства:

• Характеристическое свойство. Если следующее условие выполняется для любого z , то заданный числовой ряд - геометрическая прогрессия:

a z 2 = a z -1 · a z+1

• Так же квадрат любого числа геометрической прогрессии находится при помощи сложения квадратов двух других любых чисел в заданном ряду, если они равноудалены от этого элемента.

a z 2 = a z - t 2 + a z + t 2 , где t - расстояние между этими числами.

• Элементы различаются в q раз.
• Логарифмы элементов прогрессии так же образуют прогрессию, но уже арифметическую, то есть каждый из них больше предыдущего на определенное число.

Примеры некоторых классических задач

Чтобы лучше понять, что такое геометрическая прогрессия, примеры с решением для 9 класса могут помочь.

• Условия: a 1 = 3, a 3 = 48. Найти q .

Решение: каждый последующий элемент больше предыдущего в q раз. Необходимо выразить одни элементы через другие с помощью знаменателя.

Следовательно, a 3 = q 2 · a 1

При подстановке q = 4

• Условия: a 2 = 6, a 3 = 12. Рассчитать S 6 .

Решение: Для этого достаточно найти q, первый элемент и подставить в формулу.

a 3 = q · a 2 , следовательно, q = 2

a 2 = q · a 1 , поэтому a 1 = 3

S 6 = 189

• · a 1 = 10, q = -2. Найти четвертый элемент прогрессии.

Решение: для этого достаточно выразить четвертый элемент через первый и через знаменатель.

a 4 = q 3 · a 1 = -80

Пример применения:

• Клиент банка совершил вклад на сумму 10000 рублей, по условиям которого каждый год клиенту к основной сумме будут прибавляться 6% от нее же. Сколько средств будет на счету через 4 года?

Решение: Изначальная сумма равна 10 тысячам рублей. Значит, через год после вложения на счету будет сумма, равная 10000 + 10000· 0.06 = 10000 · 1.06

Соответственно, сумма на счете еще через один год будет выражаться следующим образом:

(10000 · 1.06) · 0.06 + 10000 · 1.06 = 1.06 · 1.06 · 10000

То есть с каждым годом сумма увеличивается в 1.06 раз. Значит, чтобы найти количество средств на счете через 4 года, достаточно найти четвертый элемент прогрессии, которая задана первым элементом, равным 10 тысячам, и знаменателем, равным 1.06.

S = 1.06·1.06·1.06·1.06·10000 = 12625

Примеры задач на вычисление суммы:

В различных задачах используется геометрическая прогрессия. Пример на нахождение суммы может быть задан следующим образом:

a 1 = 4, q = 2, рассчитать S 5 .

Решение: все необходимые для расчета данные известны, нужно просто подставить их в формулу.

S 5 = 124

• a 2 = 6, a 3 = 18. Рассчитать сумму первых шести элементов.

Решение:

В геом. прогрессии каждый следующий элемент больше предыдущего в q раз, то есть для вычисления суммы необходимо знать элемент a 1 и знаменатель q .

a 2 · q = a 3

q = 3

Аналогичным образом требуется найти a 1 , зная a 2 и q .

a 1 · q = a 2

a 1 = 2

S 6 = 728.

Геометрическая прогрессия, наряду с арифметической, является важным числовым рядом, который изучается в школьном курсе алгебры в 9 классе. В данной статье рассмотрим знаменатель геометрической прогрессии, и то, как его значение влияет на ее свойства.

Определение прогрессии геометрической

Для начала приведем определение этого числового ряда. Прогрессией геометрической называют такой ряд рациональных чисел, который формируется путем последовательного умножения его первого элемента на постоянное число, носящее название знаменателя.

Например, числа в ряду 3, 6, 12, 24, ... - это прогрессия геометрическая, поскольку если умножить 3 (первый элемент) на 2, то получим 6. Если 6 умножить на 2, то получим 12, и так далее.

Члены рассматриваемой последовательности принято обозначать символом ai, где i - это целое число, указывающее на номер элемента в ряду.

Приведенное выше определение прогрессии можно записать на языке математики следующим образом: an = bn-1 * a1, где b - знаменатель. Проверить эту формулу легко: если n = 1, то b1-1 = 1, и мы получаем a1 = a1. Если n = 2, тогда an = b * a1, и мы снова приходим к определению рассматриваемого ряда чисел. Аналогичные рассуждения можно продолжить для больших значений n.

Знаменатель прогрессии геометрической

Число b полностью определяет, какой характер будет носить весь числовой ряд. Знаменатель b может быть положительный, отрицательный, а также иметь значение больше единицы или меньше. Все перечисленные варианты приводят к разным последовательностям:

• b > 1. Имеет место возрастающий ряд рациональных чисел. Например, 1, 2, 4, 8, ... Если элемент a1 будет отрицательным, тогда вся последовательность будет возрастать только по модулю, но убывать с учетом знака чисел.
• b = 1. Часто такой случай не называют прогрессией, поскольку имеет место обычный ряд одинаковых рациональных чисел. Например, -4, -4, -4.

Формула для суммы

Перед тем как перейти к рассмотрению конкретных задач с использованием знаменателя рассматриваемого вида прогрессии, следует привести важную формулу для суммы ее первых n элементов. Формула имеет вид: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Получить это выражение можно самостоятельно, если рассмотреть рекурсивную последовательность членов прогрессии. Также заметим, что в приведенной формуле достаточно знать только первый элемент и знаменатель, чтобы найти сумму произвольного числа членов.

Бесконечно убывающая последовательность

Выше было дано пояснение, что она собой представляет. Теперь, зная формулу для Sn, применим ее к этому числовому ряду. Так как любое число, модуль которого не превышает 1, при возведении в большие степени стремится к нулю, то есть b∞ => 0, если -1

Поскольку разность (1 - b) всегда будет положительной, независимо от значения знаменателя, то знак суммы убывающей бесконечно прогрессии геометрической S∞ однозначно определяется знаком ее первого элемента a1.

Теперь рассмотрим несколько задач, где покажем, как применять полученные знания на конкретных числах.

Задача № 1. Вычисление неизвестных элементов прогрессии и суммы

Дана прогрессия геометрическая, знаменатель прогрессии 2, а ее первый элемент 3. Чему будут равны ее 7-й и 10-й члены, и какова сумма ее семи начальных элементов?

Условие задачи составлено достаточно просто и предполагает непосредственное использование вышеназванных формул. Итак, для вычисления элемента с номером n используем выражение an = bn-1 * a1. Для 7-го элемента имеем: a7 = b6 * a1, подставляя известные данные, получаем: a7 = 26 * 3 = 192. Аналогичным образом поступаем для 10-го члена: a10 = 29 * 3 = 1536.

Воспользуемся известной формулой для суммы и определим эту величину для 7-ми первых элементов ряда. Имеем: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Задача № 2. Определение суммы произвольных элементов прогрессии

Пусть -2 равен знаменатель прогрессии в геометрической прогрессии bn-1 * 4, где n - целое число. Необходимо определить сумму с 5-го по 10-й элемент этого ряда включительно.

Поставленная проблема не может быть решена непосредственно с использованием известных формул. Решить ее можно 2-мя различными методами. Для полноты изложения темы приведем оба.

Метод 1. Идея его проста: необходимо рассчитать две соответствующие суммы первых членов, а затем вычесть из одной другую. Вычисляем меньшую сумму: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Теперь вычисляем большую сумму: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Отметим, что в последнем выражении суммировались только 4 слагаемых, поскольку 5-е уже входит в сумму, которую требуется вычислить по условию задачи. Наконец, берем разницу: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

Метод 2. Перед тем, как подставлять цифры и считать, можно получить формулу для суммы между членами m и n рассматриваемого ряда. Поступаем абсолютно так же, как в методе 1, только работаем сначала с символьным представлением суммы. Имеем: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1). В полученное выражение можно подставлять известные числа и вычислять конечный результат: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Задача № 3. Чему равен знаменатель?

Пусть a1 = 2, найдите знаменатель прогрессии геометрической, при условии, что ее бесконечная сумма составляет 3, и известно, что это убывающий ряд чисел.

По условию задачи нетрудно догадаться, какой формулой следует пользоваться для ее решения. Конечно же, для суммы прогрессии бесконечно убывающей. Имеем: S∞ = a1 / (1 - b). Откуда выражаем знаменатель: b = 1 - a1 / S∞. Осталось подставить известные значения и получить требуемое число: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 или -0,333(3). Можно качественно проверить этот результат, если вспомнить, что для этого типа последовательности модуль b не должен выходить за пределы 1. Как видно, |-1 / 3|

Задача № 4. Восстановление ряда чисел

Пусть даны 2 элемента числового ряда, например, 5-й равен 30 и 10-й равен 60. Необходимо по этим данным восстановить весь ряд, зная, что он удовлетворяет свойствам прогрессии геометрической.

Чтобы решить задачу, необходимо для начала записать для каждого известного члена соответствующее выражение. Имеем: a5 = b4 * a1 и a10 = b9 * a1. Теперь разделим второе выражение на первое, получим: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Отсюда определяем знаменатель, взяв корень пятой степени от отношения известных из условия задачи членов, b = 1,148698. Полученное число подставляем в одно из выражений для известного элемента, получаем: a1 = a5 / b4 = 30 / (1,148698)4 = 17,2304966.

Таким образом, мы нашли, чему равен знаменатель прогрессии bn, и геометрическую прогрессию bn-1 * 17,2304966 = an, где b = 1,148698.

Где применяются прогрессии геометрические?

Если бы не существовало применения этого числового ряда на практике, то его изучение сводилось бы к чисто теоретическому интересу. Но такое применение существует.

Ниже перечислены 3 самых знаменитых примера:

• Парадокс Зенона, в котором ловкий Ахиллес не может догнать медленную черепаху, решается с использованием понятия убывающей бесконечно последовательности чисел.
• Если на каждую клетку шахматной доски класть зерна пшеницы так, что на 1-ю клетку положить 1 зерно, на 2-ю - 2, на 3-ю - 3 и так далее, то чтобы заполнить все клетки доски понадобится 18446744073709551615 зерен!
• В игре "Башня Ханоя", чтобы переставить диски с одного стержня на другой, необходимо выполнить 2n - 1 операций, то есть их число растет в геометрической прогрессии от количества используемых дисков n.

Геометрическая прогрессия – это новый вид числовой последовательности, с которым нам предстоит познакомиться. Для успешного знакомства не помешает хотя бы знать и понимать, . Тогда и с геометрической прогрессией проблем не будет.)

Что такое геометрическая прогрессия? Понятие геометрической прогрессии.

Начинаем экскурсию, как обычно, с элементарщины. Пишу незаконченную последовательность чисел:

1, 10, 100, 1000, 10000, …

Сможете уловить закономерность и сказать, какие числа пойдут дальше? Ясен перец, дальше пойдут числа 100000, 1000000 и так далее. Даже без особого умственного напряжения всё ясно, правда ведь?)

Ладно. Ещё пример. Пишу вот такую последовательность:

1, 2, 4, 8, 16, …

Сможете сказать, какие числа пойдут дальше, вслед за числом 16 и назвать восьмой член последовательности? Если вы сообразили, что это будет число 128, то очень хорошо. Значит, полдела в понимании смысла и ключевых моментов геометрической прогрессии уже сделано. Можно расти дальше.)

А теперь снова переходим от ощущений к строгой математике.

Ключевые моменты геометрической прогрессии.

Ключевой момент №1

Геометрическая прогрессия – это последовательность чисел. Как и прогрессия. Ничего хитрого. Только устроена эта последовательность по-другому. Отсюда, естественно, и другое название носит, да…

Ключевой момент №2

Со вторым ключевым моментом вопрос похитрее будет. Давайте вернёмся чуть назад и вспомним ключевое свойство арифметической прогрессии. Вот оно: каждый член отличается от предыдущего на одну и ту же величину.

А можно ли похожее ключевое свойство сформулировать для геометрической прогрессии? Подумайте немного… Присмотритесь к приведённым примерам. Догадались? Да! В геометрической прогрессии (любой!) каждый её член отличается от предыдущего в одно и то же число раз. Всегда!

В первом примере это число – десятка. Какой член последовательности ни возьми, он больше предыдущего в десять раз.

Во втором примере это – двойка: каждый член больше предыдущего в два раза.

Именно этим ключевым моментом геометрическая прогрессия и отличается от арифметической. В арифметической прогрессии каждый следующий член получается прибавлением одной и той же величины к предыдущему члену. А здесь – умножением предыдущего члена на одну и ту же величину. Вот и вся разница.)

Ключевой момент №3

Этот ключевой момент полностью идентичен таковому для арифметической прогрессии. А именно: каждый член геометрической прогрессии стоит на своём месте. Всё точь-в-точь как и в арифметической прогрессии и комментарии, я думаю, излишни. Есть первый член, есть сто первый и т.д. Переставим местами хотя бы два члена – закономерность (а вместе с ней и геометрическая прогрессия) исчезнут. Останется просто последовательность чисел безо всякой логики.

Вот и всё. Вот и весь смысл геометрической прогрессии.

Термины и обозначения.

А вот теперь, разобравшись со смыслом и ключевыми моментами геометрической прогрессии, можно и к теории переходить. А иначе какая же теория без понимания смысла, правда?

Как обозначать геометрическую прогрессию?

Как записывается геометрическая прогрессия в общем виде? Никаких проблем! Каждый член прогрессии также записывается в виде буквы. Только для арифметической прогрессии, обычно, используется буква "а" , для геометрической – буковка "b". Номер члена , как обычно, указывается индексом справа внизу . Сами члены прогрессии просто перечисляем через запятую или точку с запятой.

Вот так:

b 1 , b 2 , b 3 , b 4 , b 5 , b 6 , …

Коротко такую прогрессию записывают вот так: (b n ) .

Или вот так, для конечных прогрессий:

b 1 , b 2 , b 3 , b 4 , b 5 , b 6 .

b 1 , b 2 , …, b 29 , b 30 .

Или, в краткой записи:

(b n ), n =30 .

Вот, собственно, и все обозначения. Всё то же самое, только буква другая, да.) А теперь переходим непосредственно к определению.

Определение геометрической прогрессии.

Геометрическая прогрессия – это числовая последовательность, первый член которой отличен от нуля, а каждый последующий член равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же ненулевое число.

Вот и всё определение. Большинство слов и фраз вам понятны и хорошо знакомы. Если, конечно, понимаете смысл геометрической прогрессии "на пальцах" и вообще. Но есть и несколько новых фраз, на которые я хотел бы обратить особое внимание.

Во-первых, слова: "первый член которой отличен от нуля ".

Это ограничение на первый член введено не случайно. Как вы думаете, что произойдёт, если первый член b 1 окажется равным нулю? Чему будет равен второй член, если каждый член больше предыдущего в одно и то же число раз? Допустим, в три раза? Посмотрим… Умножаем первый член (т.е. 0) на 3 и получаем… ноль! А третий член? Тоже ноль! И четвёртый член – тоже ноль! И так далее…

Получаем просто мешок баранок последовательность нулей:

0, 0, 0, 0, …

Конечно, такая последовательность имеет право на жизнь, но никакого практического интереса она не представляет. Всё и так понятно. Любой её член – ноль. Сумма любого количества членов – тоже ноль… Что с ней интересного можно делать? Ничего…

Следующие ключевые слова: "умноженному на одно и то же ненулевое число".

Это самое число тоже носит своё специальное название – знаменатель геометрической прогрессии . Начинаем знакомство.)

Знаменатель геометрической прогрессии.

Всё проще простого.

Знаменатель геометрической прогрессии – это ненулевое число (или величина), показывающее, во сколько раз каждый член прогрессии больше предыдущего.

Опять же, по аналогии с арифметической прогрессией, ключевым словом, на которое следует обратить внимание в этом определении, является слово "больше" . Оно означает, что каждый член геометрической прогрессии получается умножением на этот самый знаменатель предыдущего члена.

Поясняю.

Для расчёта, скажем, второго члена, надо взять первый член и умножить его на знаменатель. Для расчёта десятого члена, надо взять девятый член и умножить его на знаменатель.

Сам знаменатель геометрической прогрессии может при этом быть каким угодно. Совершенно любым! Целым, дробным, положительным, отрицательным, иррациональным – всяким. Кроме нуля. Об этом и говорит нам слово "ненулевое" в определении. Зачем это слово тут нужно – об этом далее.

Знаменатель геометрической прогрессии обозначается, чаще всего, буковкой q .

Как найти это самое q ? Не вопрос! Надо взять любой член прогрессии и поделить на предыдущий член . Деление – это дробь . Отсюда и название - "знаменатель прогрессии". Знаменатель, он обычно в дроби сидит, да…) Хотя, по логике, величину q следовало бы называть частным геометрической прогрессии, по аналогии с разностью для прогрессии арифметической. Но договорились называть знаменателем . И мы тоже не будем изобретать велосипед.)

Определим, например, величину q для такой геометрической прогрессии:

2, 6, 18, 54, …

Всё элементарно. Берём любое число последовательности. Какое хотим, такое и берём. Кроме самого первого. Например, 18. И делим на предыдущее число . То есть, на 6.

Получаем:

q = 18/6 = 3

Вот и всё. Это верный ответ. Для данной геометрической прогрессии знаменатель равен трём.

Найдём теперь знаменатель q для другой геометрической прогрессии. Например, вот такой:

1, -2, 4, -8, 16, …

Всё то же самое. Какие бы знаки ни были у самих членов, всё равно берём любое число последовательности (например, 16) и делим на предыдущее число (т.е. -8).

Получим:

d = 16/(-8) = -2

И все дела.) В этот раз знаменатель прогрессии оказался отрицательным. Минус два. Бывает.)

Возьмём теперь вот такую прогрессию:

1, 1/3, 1/9, 1/27, …

И снова, вне зависимости от вида чисел, стоящих в последовательности (хоть целые, хоть дробные, хоть отрицательные, хоть иррациональные), берём любое число (например, 1/9) и делим на предыдущее число (1/3). По правилам действий с дробями, естественно.

Получим:

И всё.) Здесь знаменатель оказался дробным: q = 1/3.

А вот такая "прогрессия" как вам?

3, 3, 3, 3, 3, …

Очевидно, здесь q = 1 . Формально это тоже геометрическая прогрессия, только с одинаковыми членами .) Но такие прогрессии для изучения и практического применения не интересны. Так же, как и прогрессии со сплошными нулями. Поэтому мы их рассматривать и не будем.

Как вы видите, знаменатель прогрессии может быть каким угодно – целым, дробным, положительным, отрицательным – всяким! Не может быть только нулём. Не догадались, почему?

Ну, давайте на каком-нибудь конкретном примере посмотрим, что будет, если взять в качестве знаменателя q нолик.) Пусть у нас, допустим, будет b 1 = 2 , а q = 0 . Чему тогда будет равен второй член?

Считаем:

b 2 = b 1 · q = 2·0 = 0

А третий член?

b 3 = b 2 · q = 0·0 = 0

Виды и поведение геометрических прогрессий.

С всё было более-менее ясно: если разность прогрессии d положительна, то прогрессия возрастает. Если же разность отрицательна, то прогрессия убывает. Всего два варианта. Третьего не дано.)

А вот с поведением геометрической прогрессии всё будет уже гораздо интереснее и разнообразнее!)

Как только себя тут члены ни ведут: и возрастают, и убывают, и неограниченно приближаются к нулю, и даже меняют знаки, попеременно бросаясь то в "плюс", то в "минус"! И во всём этом многообразии надо уметь хорошо разбираться, да…

Разбираемся?) Начинаем с самого простого случая.

Знаменатель положительный ( q >0)

При положительном знаменателе, во-первых, члены геометрической прогрессии могут уходить в плюс бесконечность (т.е. неограниченно возрастать) и могут уходить в минус бесконечность (т.е. неограниченно убывать). К такому поведению прогрессий мы уже попривыкли.

Например:

(b n ): 1, 2, 4, 8, 16, …

Здесь всё просто. Каждый член прогрессии получается больше предыдущего . Причём каждый член получается умножением предыдущего члена на положительное число +2 (т.е. q = 2 ). Поведение такой прогрессии очевидно: все члены прогрессии неограниченно растут, уходя в космос. В плюс бесконечность…

А теперь вот такая прогрессия:

(b n ): -1, -2, -4, -8, -16, …

Здесь тоже каждый член прогрессии получается умножением предыдущего члена на положительное число +2. А вот поведение такой прогрессии уже прямо противоположное: каждый член прогрессии получается меньше предыдущего , и все её члены неограниченно убывают, уходя в минус бесконечность.

А теперь давайте подумаем: что общего у этих двух прогрессий? Правильно, знаменатель! И там и там q = +2 . Положительное число. Двойка. А вот поведение этих двух прогрессий – принципиально разное! Не догадались, почему? Да! Всё дело в первом члене! Именно он, как говорится, и заказывает музыку.) Смотрите сами.

В первом случае первый член прогрессии положительный (+1) и, стало быть, все последующие члены, получаемые умножением на положительный знаменатель q = +2 , также будут положительными.

А вот во втором случае первый член отрицательный (-1). Поэтому и все последующие члены прогрессии, получаемые умножением на положительное q = +2 , также будут получаться отрицательными. Ибо "минус" на "плюс" всегда даёт "минус", да.)

Как вы видите, в отличие от арифметической прогрессии, геометрическая прогрессия может вести себя совершенно по-разному не только в зависимости от знаменателя q , но ещё и в зависимости от первого члена , да.)

Запоминаем: поведение геометрической прогрессии однозначно определяется её первым членом b 1 и знаменателем q .

А теперь начинаем разбор менее привычных, но зато гораздо более интересных случаев!

Возьмём, например, вот такую последовательность:

(b n ): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …

Эта последовательность – тоже геометрическая прогрессия! Каждый член этой прогрессии тоже получается умножением предыдущего члена, на одно и то же число. Только число это – дробное: q = +1/2 . Или +0,5 . Причём (важно!) число, меньшее единички: q = 1/2<1.

Чем интересна эта геометрическая прогрессия? Куда стремятся её члены? Давайте посмотрим:

1/2 = 0,5;

1/4 = 0,25;

1/8 = 0,125;

1/16 = 0,0625;

…….

Что интересного здесь можно заметить? Во-первых, сразу бросается в глаза убывание членов прогрессии: каждый её член меньше предыдущего ровно в 2 раза. Или, в соответствии с определением геометрической прогрессии, каждый член больше предыдущего в 1/2 раза , т.к. знаменатель прогрессии q = 1/2 . А от умножения на положительное число, меньшее единички, результат обычно уменьшается, да…

Что ещё можно заметить в поведении этой прогрессии? Убывают ли её члены неограниченно , уходя в минус бесконечность? Нет! Они убывают по-особенному. Сначала довольно быстро убывают, а потом всё медленнее и медленнее. Причём всё время оставаясь положительными . Пускай и очень-очень маленькими. А к чему же они сами при этом стремятся? Не догадались? Да! К нулю они стремятся!) Причём, обратите внимание, самого нуля члены нашей прогрессии никогда не достигают! Только лишь бесконечно близко к нему приближаются . Это очень важно.)

Похожая ситуация будет и в такой прогрессии:

(b n ): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …

Здесь b 1 = -1 , а q = 1/2 . Всё то же самое, только к нулю теперь члены будут приближаться уже с другой стороны, снизу. Всё время оставаясь отрицательными .)

Такая геометрическая прогрессия, члены которой неограниченно приближаются к нулю (неважно, с положительной или с отрицательной стороны), в математике носит особое название – бесконечно убывающая геометрическая прогрессия. Прогрессия эта настолько интересная и необычная, что о ней даже будет отдельный урок .)

Итак, мы рассмотрели все возможные положительные знаменатели – и большие единички и меньшие единички. Саму единичку в качестве знаменателя мы не рассматриваем по причинам, изложенным выше (вспомните пример с последовательностью троек…)

Подытожим:

положителен и больше единицы (q >1), то члены прогрессии:

a ) неограниченно возрастают (если b 1 >0);

б) неограниченно убывают (если b 1 <0).

Если знаменатель геометрической прогрессии положителен и меньше единицы (0< q <1), то члены прогрессии:

а) бесконечно близко приближаются к нулю сверху (если b 1 >0);

б) бесконечно близко приближаются к нулю снизу (если b 1 <0).

Осталось теперь рассмотреть случай отрицательного знаменателя.

Знаменатель отрицательный ( q <0)

За примером далеко ходить не будем. Чего, собственно, лохматить бабушку?!) Пусть, например, первый член прогрессии будет b 1 = 1 , а знаменатель возьмём q = -2 .

Получим вот такую последовательность:

(b n ): 1, -2, 4, -8, 16, …

И так далее.) Каждый член прогрессии получается умножением предыдущего члена на отрицательное число -2. При этом все члены, стоящие на нечётных местах (первый, третий, пятый и т.д.) будут положительными , а на чётных местах (второй, четвёртый и т.д.) – отрицательными. Знаки строго чередуются. Плюс-минус-плюс-минус… Такая геометрическая прогрессия так и называется – возрастающей знакочередующейся.

Куда же стремятся её члены? А никуда.) Да, по абсолютной величине (т.е. по модулю) члены нашей прогрессии неограниченно возрастают (отсюда и название "возрастающая"). Но при этом каждый член прогрессии поочерёдно бросает то в жар, то в холод. То в "плюс", то в "минус". Колеблется наша прогрессия… Причём размах колебаний с каждым шагом стремительно растёт, да.) Стало быть, стремления членов прогрессии куда-то конкретно здесь нет. Ни к плюс бесконечности, ни к минус бесконечности, ни к нулю – никуда.

Рассмотрим теперь какой-нибудь дробный знаменатель между нулём и минус единичкой.

Например, пусть будет b 1 = 1 , а q = -1/2 .

Тогда получим прогрессию:

(b n ): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …

И снова имеем чередование знаков! Но, в отличие от предыдущего примера, здесь уже прослеживается чёткая тенденция приближения членов к нулю.) Только в этот раз наши члены приближаются к нулю не строго сверху или снизу, а снова колеблясь . Попеременно принимая то положительные, то отрицательные значения. Но при этом их модули становятся всё ближе и ближе к заветному нолику.)

Такая геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей знакочередующейся.

Чем интересны эти два примера? А тем, что в обоих случаях имеет место чередование знаков! Такая фишка характерна только для прогрессий с отрицательным знаменателем, да.) Стало быть, если в каком-то задании вы увидите геометрическую прогрессию со знакочередующимися членами, то уже твёрдо будете знать, что её знаменатель на 100% отрицательный и не ошибётесь в знаке.)

Кстати, в случае отрицательного знаменателя знак первого члена совершенно не влияет на поведение самой прогрессии. С каким бы знаком первый член прогрессии ни был, в любом случае будет наблюдаться знакочередование членов. Весь вопрос лишь в том, на каких местах (чётные или нечётные) будут стоять члены с конкретными знаками.

Запоминаем:

Если знаменатель геометрической прогрессии отрицательный , то знаки членов прогрессии всегда чередуются.

При этом сами члены:

а) неограниченно возрастают по модулю , если q <-1;

б) бесконечно приближаются к нулю, если -1< q <0 (прогрессия бесконечно убывающая).

Вот и всё. Все типовые случаи разобраны.)

В процессе разбора самых разных примеров геометрических прогрессий, я периодически употреблял слова: "стремится к нулю" , "стремится к плюс бесконечности" , "стремится к минус бесконечности" … Ничего страшного.) Эти речевые обороты (и конкретные примеры) – всего лишь начальное знакомство с поведением самых разных числовых последовательностей. На примере геометрической прогрессии.

Зачем нам вообще нужно знать поведение прогрессии? Какая разница, куда она там стремится? К нулю ли, к плюс бесконечности, к минус бесконечности… Нам-то что от этого?

Дело всё в том, что уже в ВУЗе, в курсе высшей математики, вам понадобится умение работать с самыми разными числовыми последовательностями (с любыми, а не только прогрессиями!) и умение представлять, как именно себя ведёт та или иная последовательность – возрастает ли она неограниченно, убывает ли, стремится ли к конкретному числу (причём не обязательно к нулю) или даже вообще ни к чему не стремится… Этой теме в курсе матанализа посвящён целый раздел – теория пределов. А чуть конкретнее – понятие предела числовой последовательности. Очень интересная тема! Имеет смысл поступить в институт и разобраться.)

Некоторые примеры из этого раздела (последовательности, имеющие предел) и в частности, бесконечно убывающая геометрическая прогрессия начинают осваиваться ещё в школе. Привыкаем.)

Более того, умение хорошо исследовать поведение последовательностей в дальнейшем здорово сыграет на руку и очень пригодится в исследовании функций. Самых разнообразных. А вот умение грамотно работать с функциями (вычислять производные, исследовать их по полной программе, строить их графики) уже резко повышает ваш математический уровень! Сомневаетесь? Не надо. Ещё вспомните мои слова.)

Посмотрим на геометрическую прогрессию в жизни?

В окружающей нас жизни с геометрической прогрессией мы сталкиваемся очень и очень часто. Даже сами того не подозревая.)

Например, различные микроорганизмы, которые окружают нас повсюду в огромных количествах и которых мы даже не видим без микроскопа, размножаются именно в геометрической прогрессии.

Скажем, одна бактерия размножается делением пополам, давая потомство в 2 бактерии. В свою очередь, каждая из них, размножаясь, тоже делится пополам, давая общее потомство в 4 бактерии. Следующее поколение даст уже 8 бактерий, потом 16 бактерий, 32, 64 и так далее. С каждым следующим поколением число бактерий удваивается. Типичный пример геометрической прогрессии.)

Также в геометрической прогрессии размножаются и некоторые насекомые – тля, мухи. И кролики иногда, кстати, тоже.)

Другой пример геометрической прогрессии, уже ближе к обыденной жизни, - это так называемые сложные проценты. Такое интересное явление часто встречается в банковских вкладах и называется капитализацией процентов. Что это такое?

Сами вы пока что ещё, конечно, юные. В школе учитесь, в банки не обращаетесь. А вот родители ваши – люди уже взрослые и самостоятельные. На работу ходят, денежки на хлеб насущный зарабатывают, а часть денег кладут в банк, делая сбережения.)

Скажем, ваш папа хочет поднакопить определённую денежную сумму на семейный отдых в Турции и положил в банк 50000 рублей под 10% годовых сроком на три года с ежегодной капитализацией процентов. Причём в течение всего этого срока делать со вкладом ничего нельзя. Нельзя ни пополнять вклад, ни снимать деньги со счёта. Какую прибыль он получит через эти три года?

Ну, во-первых, надо разобраться, что же такое 10% годовых. Это значит, что через год к первоначальной сумме вклада банком будут начислены 10%. От чего? Конечно же, от первоначальной суммы вклада.

Считаем размер счёта через год. Если первоначальная сумма вклада составляла 50000 рублей (т.е. 100%), то через год на счету будет сколько процентов? Правильно, 110%! От 50000 рублей.

Вот и считаем 110% от 50000 рублей:

50000·1,1 = 55000 рублей.

Надеюсь, вы понимаете, что найти 110% от величины означает помножить эту величину на число 1,1? Если не понимаете, почему это именно так, вспоминайте пятый и шестой классы. А именно – связь процентов с дробями и частями.)

Таким образом, прибавка за первый год составит 5000 рублей.

А сколько денег будет на счету через два года? 60000 рублей? К сожалению (а вернее, к счастью), всё не так просто. Весь фокус капитализации процентов состоит в том, что при каждом новом начислении процентов, эти самые проценты будут считаться уже от новой суммы! От той, которая уже лежит на счету в данный момент. А начисленные за предыдущий срок проценты прибавляются к изначальной сумме вклада и, таким образом, сами участвуют в начислении новых процентов! То есть, они становятся полноправной частью общего счёта. Или общего капитала. Отсюда и название – капитализация процентов.

Это в экономике. А в математике такие проценты называются сложными процентами. Или процентами от процентов. ) Их фишка заключается в том, что при последовательном вычислении проценты каждый раз считаются от новой величины. А не от первоначальной…

Стало быть, для подсчёта суммы через два года , нам надо посчитать 110% от той суммы, которая будет на счету через год. То есть, уже от 55000 рублей.

Считаем 110% от 55000 рублей:

55000·1,1 = 60500 рублей.

Значит, процентная прибавка за второй год составит уже 5500 рублей, а за два года – 10500 рублей.

Теперь уже можно догадаться, что через три года сумма на счету будет составлять 110% от 60500 рублей. То есть снова 110% от предыдущей (прошлогодней) суммы.

Вот и считаем:

60500·1,1 = 66550 рублей.

А теперь выстраиваем наши денежные суммы по годам в последовательность:

50000;

55000 = 50000·1,1;

60500 = 55000·1,1 = (50000·1,1)·1,1;

66550 = 60500·1,1 = ((50000·1,1)·1,1)·1,1

Ну и как? Чем не геометрическая прогрессия? Первый член b 1 = 50000 , а знаменатель q = 1,1 . Каждый член больше предыдущего строго в 1,1 раза. Всё в строгом соответствии с определением.)

И сколько же дополнительных процентных бонусов "накапает" вашему папе, пока его 50000 рублей три года лежали на банковском счету?

Считаем:

66550 – 50000 = 16550 рублей

Негусто, конечно. Но это если изначальная сумма вклада – маленькая. А если побольше? Скажем, не 50, а 200 тысяч рублей? Тогда прибавка за три года составит уже 66200 рублей (если посчитать). Что уже очень неплохо.) А если вклад ещё больше? Вот то-то и оно…

Вывод: чем выше изначальный вклад, тем выгоднее становится капитализация процентов. Именно поэтому вклады с капитализацией процентов предоставляются банками на длительные сроки. Скажем, на пять лет.

Также в геометрической прогрессии любят распространяться всякие нехорошие болезни типа гриппа, кори и даже более страшных заболеваний (той же атипичной пневмонии в начале 2000-х или чумы в Средневековье). Отсюда и такие масштабы эпидемий, да…) А всё из-за того, что геометрическая прогрессия с целым положительным знаменателем (q >1) – штука, возрастающая очень быстро! Вспомните размножение бактерий: из одной бактерии получаются две, из двух – четыре, из четырёх – восемь и так далее… С распространением всякой заразы всё то же самое.)

Простейшие задачи по геометрической прогрессии.

Начнём, как всегда, с несложной задачки. Чисто на понимание смысла.

1. Известно, что второй член геометрической прогрессии равен 6, а знаменатель равен -0,5. Найдите первый, третий и четвёртый её члены.

Итак, нам дана бесконечная геометрическая прогрессия, а известен второй член этой прогрессии:

b 2 = 6

Кроме того, нам ещё известен знаменатель прогрессии :

q = -0,5

А найти нужно первый, третий и четвёртый члены этой прогрессии.

Вот и действуем. Записываем последовательность по условию задачки. Прямо в общем виде, где второй член – шестёрка:

b 1 , 6, b 3 , b 4 , …

А теперь приступаем к поискам. Начинаем, как всегда, с самого простого. Можно посчитать, например, третий член b 3 ? Можно! Мы же с вами уже знаем (прямо по смыслу геометрической прогрессии), что третий член (b 3) больше второго (b 2 ) в "q" раз!

Так и пишем:

b 3 = b 2 · q

Подставляем в это выражение шестёрку вместо b 2 и -0,5 вместо q и считаем. И минус тоже не игнорируем, разумеется…

b 3 = 6·(-0,5) = -3

Вот так. Третий член оказался с минусом. Неудивительно: наш знаменатель q – отрицательный. А плюс помножить на минус, будет, знамо дело, минус.)

Считаем теперь следующий, четвёртый член прогрессии:

b 4 = b 3 · q

b 4 = -3·(-0,5) = 1,5

Четвёртый член – снова с плюсом. Пятый член будет опять с минусом, шестой – с плюсом и так далее. Знаки – чередуются!

Так, третий и четвёртый члены нашли. Получилась вот такая последовательность:

b 1 ; 6; -3; 1,5; …

Осталось теперь найти первый член b 1 по известному второму. Для этого шагаем уже в другую сторону, влево. Это значит, что в данном случае второй член прогрессии нам надо не помножить на знаменатель, а поделить.

Делим и получаем:

Вот и всё.) Ответ к задачке будет такой:

-12; 6; -3; 1,5; …

Как вы видите, принцип решения тот же самый, что и в . Знаем любой член и знаменатель геометрической прогрессии – можем найти и любой другой её член. Какой хотим, такой и отыщем.) С той лишь разницей, что сложение/вычитание заменяется на умножение/деление.

Запоминаем: если нам известен хотя бы один член и знаменатель геометрической прогрессии, то мы всегда можем найти любой другой член этой прогрессии.

Следующая задачка, по традиции, из реального варианта ОГЭ:

2.

…; 150; х; 6; 1,2; …

Ну и как? В этот раз ни первого члена нет, ни знаменателя q , задана просто последовательность чисел... Что-то знакомое уже, правда? Да! Похожая задачка уже разбиралась в по арифметической прогрессии!

Вот и не пугаемся. Всё то же самое. Включаем голову и вспоминаем элементарный смысл геометрической прогрессии. Смотрим внимательно на нашу последовательность и соображаем, какие параметры геометрической прогрессии из трёх главных (первый член, знаменатель, номер члена) в ней спрятаны.

Номера членов? Номеров членов нету, да… Но зато есть четыре последовательных числа. Что означает это слово, объяснять на данном этапе смысла не вижу.) Есть ли в этой последовательности два соседних известных числа? Есть! Это 6 и 1,2. Значит, мы можем найти знаменатель прогрессии. Вот и берём число 1,2 и делим на предыдущее число. На шестёрку.

Получаем:

Получим:

x = 150·0,2 = 30

Ответ: x = 30 .

Как вы видите, всё довольно просто. Основная трудность состоит лишь в вычислениях. Особенно тяжко бывает в случае отрицательных и дробных знаменателей. Так что те, у кого проблемы, повторите арифметику! Как работать с дробями, как работать с отрицательными числами и так далее… Иначе здесь будете тормозить нещадно.

А теперь немного видоизменим задачку. Сейчас интересно станет! Уберём в ней последнее число 1,2. Вот такую задачку теперь решим:

3. Выписано несколько последовательных членов геометрической прогрессии:

…; 150; х; 6; …

Найдите член прогрессии, обозначенный буквой х.

Всё то же самое, только двух соседних известных членов прогрессии у нас теперь не стало. В этом и состоит основная проблема. Потому, что величину q через два соседних члена мы так просто определить уже не сможем. Есть у нас шанс справиться с задачей? Конечно!

Распишем неизвестный член " x " прямо по смыслу геометрической прогрессии! В общем виде.

Да-да! Прямо с неизвестным знаменателем!

С одной стороны, для икса мы можем записать вот такое соотношение:

x = 150· q

С другой стороны, этот же самый икс мы имеем полное право расписать и через следующий член, через шестёрку! Поделив шестёрку на знаменатель.

Вот так:

x = 6/ q

Очевидно, теперь можно приравнять оба этих соотношения. Раз уж мы выражаем одну и ту же величину (икс), но двумя разными способами.

Получим уравнение:

Умножая всё на q , упрощая, сокращая, получим уравнение:

q 2 = 1/25

Решаем и получаем:

q = ±1/5 = ±0,2

Опаньки! Знаменатель-то двойной получился! +0,2 и -0,2. И какой из них выбрать? Тупик?

Спокойствие! Да, задачка действительно имеет два решения! Ничего страшного в этом нет. Бывает.) Вы же не удивляетесь, когда, например, получаете два корня, решая обычное ? Вот и здесь та же история.)

Для q = +0,2 мы получим:

X = 150·0,2 = 30

А для q = -0,2 будет:

X = 150·(-0,2) = -30

Получаем двойной ответ: x = 30; x = -30.

Что означает этот интересный факт? А то, что существует две прогрессии , удовлетворяющие условию задачи!

Вот такие:

…; 150; 30; 6; …

…; 150; -30; 6; …

Обе – подходят.) Как вы думаете, из-за чего у нас произошло раздвоение ответов? Как раз из-за ликвидации конкретного члена прогрессии (1,2), идущего после шестёрки. А зная только предыдущий (n-1)-й и последующий (n+1)-й члены геометрической прогрессии, мы уже ничего не можем однозначно сказать про n-й член, стоящий между ними. Возможны два варианта – с плюсом и с минусом.

Но не беда. Как правило, в заданиях на геометрическую прогрессию имеется дополнительная информация, дающая однозначный ответ. Скажем, слова: "знакочередующаяся прогрессия" или "прогрессия с положительным знаменателем" и так далее… Именно эти слова и должны служить зацепкой, какой знак, плюс или минус, следует выбрать при оформлении окончательного ответа. Если же такой информации нет, то тогда – да, задача будет иметь два решения. )

А теперь решаем самостоятельно.

4. Определите, будет ли число 20 членом геометрической прогрессии:

4 ; 6; 9; …

5. Задана знакочередующаяся геометрическая прогрессия:

…; 5; x ; 45; …

Найдите член прогрессии, обозначенный буквой x .

6. Найдите четвёртый положительный член геометрической прогрессии:

625; -250; 100; …

7. Второй член геометрической прогрессии равен -360, а пятый её член равен 23,04. Найдите первый член этой прогрессии.

Ответы (в беспорядке): -15; 900; нет; 2,56.

Поздравляю, если всё получилось!

Что-то не стыкуется? Где-то ответ двойной получился? Читаем внимательно условие задания!

Последняя задачка не выходит? Там ничего сложного.) Работаем прямо по смыслу геометрической прогрессии. Ну и картинку можно нарисовать. Это помогает.)

Как вы видите, всё элементарно. Если прогрессия – коротенькая. А если длинная? Или номер нужного члена очень большой? Хотелось бы, по аналогии с арифметической прогрессией, как-то получить удобную формулу, позволяющую легко находить любой член любой геометрической прогрессии по его номеру. Не помножая много-много раз на q . И такая формула есть!) Подробности – в следующем уроке.

>>Математика: Геометрическая прогрессия

Для удобства читателя этот параграф строится точно по тому же плану, которого мы придерживались в предыдущем параграфе.

1. Основные понятия.

Определение. Числовую последовательность, все члены которой отличны от 0 и каждый член которой, начиная со второго, получается из предыдущего члена умножением его на одно и то же число называют геометрической прогрессией . При этом число 5 называют знаменателем геометрической прогрессии.

Таким образом, геометрическая прогрессия - это числовая последовательность (b n), заданная рекуррентно соотношениями

Можно ли, глядя на числовую последовательность, определить, является ли она геометрической прогрессией? Можно. Если вы убедились в том, что отношение любого члена последовательности к предыдущему члену постоянно то перед вами- геометрическая прогрессия.
Пример 1.

1, 3, 9, 27, 81,... .
Ь 1 = 1, q = 3.

Пример 2.

Это геометрическая прогрессия, у которой
Пример 3.

Это геометрическая прогрессия, у которой
Пример 4.

8, 8, 8, 8, 8, 8,....

Это геометрическая прогрессия, у которой b 1 - 8, q = 1.

Заметим, что эта последовательность является и арифметической прогрессией (см. пример 3 из § 15).

Пример 5.

2,-2,2,-2,2,-2.....

Это геометрическая прогрессия, у которой b 1 = 2, q = -1.

Очевидно, что геометрическая прогрессия является возрастающей последовательностью, если b 1 > 0, q > 1 (см. пример 1), и убывающей, если b 1 > 0, 0 < q < 1 (см. пример 2).

Для обозначения того, что последовательность (b n) является геометрической прогрессией, иногда бывает удобна следующая запись:

Значок заменяет словосочетание «геометрическая прогрессия».
Отметим одно любопытное и в то же время достаточно очевидное свойство геометрической прогрессии:
Если последовательность является геометрической прогрессией, то и последовательность квадратов, т.е. является геометрической прогрессией.
У второй геометрической прогрессии первый член равен а равен q 2 .
Если в геометрической прогрессии отбросить все члены, следующие за b n , то получится конечная геометрическая прогрессия
В дальнейших пунктах этого параграфа мы рассмотрим наиболее важные свойства геометрической прогрессии.

2. Формула п-го члена геометрической прогрессии.

Рассмотрим геометрическую прогрессию знаменателем q. Имеем:

Нетрудно догадаться, что для любого номера n справедливо равенство

Это - формула n-го члена геометрической прогрессии.

Замечание.

Если вы прочли важное замечание из предыдущего параграфа и поняли его, то попробуйте доказать формулу (1) методом математической индукции подобно тому, как зто было сделано для формулы n-го члена арифметической прогрессии.

Перепишем формулу n-го члена геометрической прогрессии

и введем обозначения: Получим у = mq 2 , или, подробнее,
Аргумент х содержится в показателе степени, поэтому такую функцию называют показательной функцией. Значит, геометрическую прогрессию можно рассматривать как показательную функцию, заданную на множестве N натуральных чисел . На рис. 96а изображен график функции рис. 966 - график функции В обоих случаях имеем изолированные точки (с абсциссами х= 1, х = 2, х = 3 и т.д.), лежащие на некоторой кривой (на обоих рисунках представлена одна и та же кривая, только по-разному расположенная и изображенная в разных масштабах). Эту кривую называют экспонентой. Подробнее о показательной функции и ее графике речь пойдет в курсе алгебры 11-го класса.

Вернемся к примерам 1-5 из предыдущего пункта.

1) 1, 3, 9, 27, 81,... . Это геометрическая прогрессия, у которой Ь 1 = 1, q = 3. Составим формулу n-го члена
2) Это геометрическая прогрессия, у которой Составим формулу n-го члена

Это геометрическая прогрессия, у которой Составим формулу n-го члена
4) 8, 8, 8, ..., 8, ... . Это геометрическая прогрессия, у которой b 1 = 8, q = 1. Составим формулу n-го члена
5) 2, -2, 2, -2, 2, -2,.... Это геометрическая прогрессия, у которой b 1 = 2, q = -1. Составим формулу n-го члена

Пример 6.

Дана геометрическая прогрессия

Во всех случаях в основе решения лежит формула n-го члена геометрической прогрессии

а) Положив в формуле n-го члена геометрической прогрессии n = 6, получим

б) Имеем

Так как 512 = 2 9 , то получаем п - 1 = 9, п = 10.

г) Имеем

Пример 7.

Разность между седьмым и пятым членами геометрической прогрессии равна 48, сумма пятого и шестого членов прогрессии также равна 48. Найти двенадцатый член этой прогрессии.

Первый этап. Составление математической модели .

Условия задачи можно кратко записать так:

Воспользовавшись формулой n-го члена геометрической прогрессии, получим:
Тогда второе условие задачи (b 7 - b 5 = 48) можно записать в виде

Третье условие задачи (b 5 +b 6 = 48) можно записать в виде

В итоге получаем систему двух уравнений с двумя переменными b 1 и q:

которая в сочетании с записанным выше условием 1) и представляет собой математическую модель задачи.

Второй этап.

Работа с составленной моделью. Приравняв левые части обоих уравнений системы, получим:

(мы разделили обе части уравнения на выражение b 1 q 4 , отличное от нуля).

Из уравнения q 2 - q - 2 = 0 находим q 1 = 2, q 2 = -1. Подставив значение q = 2 во второе уравнение системы, получим
Подставив значение q = -1 во второе уравнение системы, получим b 1 1 0 = 48; это уравнение не имеет решений.

Итак, b 1 =1, q = 2 - эта пара является решением составленной системы уравнений.

Теперь мы можем записать геометрическую прогрессию, о которой идет речь в задаче: 1, 2, 4, 8, 16, 32, ... .

Третий этап.

Ответ на вопрос задачи. Требуется вычислить b 12 . Имеем

О т в е т: b 12 = 2048.

3. Формула суммы членов конечной геометрической прогрессии.

Пусть дана конечная геометрическая прогрессия

Обозначим через S n сумму ее членов, т.е.

Выведем формулу для отыскания этой суммы .

Начнем с самого простого случая, когда q = 1. Тогда геометрическая прогрессия b 1 ,b 2 , b 3 ,..., bn состоит из n чисел, равных b 1 , т.е. прогрессия имеет вид b 1 , b 2 , b 3 , ..., b 4 . Сумма этих чисел равна nb 1 .

Пусть теперь q = 1 Для отыскания S n применим искусственный прием: выполним некоторые преобразования выражения S n q. Имеем:

Выполняя преобразования, мы, во-первых, пользовались определением геометрической прогрессии, согласно которому (см. третью строчку рассуждений); во-вторых, прибавили и вычли отчего значение выражения, разумеется, не изменилось (см. четвертую строчку рассуждений); в-третьих, воспользовались формулой n-го члена геометрической прогрессии:

Из формулы (1) находим:

Это - формула суммы n членов геометрической прогрессии (для случая, когда q = 1).

Пример 8.

Дана конечная геометрическая прогрессия

а) сумму членов прогрессии; б) сумму квадратов ее членов.

б) Выше (см. с. 132) мы уже отмечали, что если все члены геометрической прогрессии возвести в квадрат , то получится геометрическая прогрессия с первым членом Ь 2 и знаменателем q 2 . Тогда сумма шести членов новой прогрессии будет вычисляться по

Пример 9.

Найти 8-й член геометрической прогрессии, у которой

Фактически мы доказали следующую теорему.

Числовая, последовательность является геометрической прогрессией тогда и только тогда, когда квадрат каждого ее члена, кроме первого Теорема (и последнего, в случае конечной последовательности),равен произведению предшествующего и последующего членов (характеристическое свойство геометрической прогрессии).

Урок и презентация на тему: "Числовые последовательности. Геометрическая прогрессия"

Дополнительные материалы
Уважаемые пользователи, не забывайте оставлять свои комментарии, отзывы, пожелания! Все материалы проверены антивирусной программой.

Обучающие пособия и тренажеры в интернет-магазине "Интеграл" для 9 класса
Степени и корни Функции и графики

Ребята, сегодня мы познакомимся с еще одним видом прогрессии.
Тема сегодняшнего занятия - геометрическая прогрессия.

Геометрическая прогрессия

Пример. 1,2,4,8,16… Геометрическая прогрессия, у которой первый член равен единице, а $q=2$.

Пример. 8,8,8,8… Геометрическая прогрессия, у которой первый член равен восьми,
а $q=1$.

Пример. 3,-3,3,-3,3… Геометрическая прогрессия, у которой первый член равен трем,
а $q=-1$.

Геометрическая прогрессия обладает свойствами монотонности.
Если $b_{1}>0$, $q>1$,
то последовательность возрастающая.
Если $b_{1}>0$, $0 Последовательность принято обозначать в виде: $b_{1}, b_{2}, b_{3}, ..., b_{n}, ...$.

Также как и в арифметической прогрессии, если в геометрической прогрессии количество элементов конечно, то прогрессия называется конечной геометрической прогрессией .

$b_{1}, b_{2}, b_{3}, ..., b_{n-2}, b_{n-1}, b_{n}$.
Отметим, если последовательность является геометрической прогрессией, то и последовательность квадратов членов, также является геометрической прогрессией. У второй последовательность первый член равен $b_{1}^2$, а знаменатель равен $q^2$.

Формула n-ого члена геометрической прогрессии

Вернемся к нашим примерам.

Пример. 1,2,4,8,16… Геометрическая прогрессия, у которой первый член равен единице,
а $q=2$.
$b_{n}=1*2^{n}=2^{n-1}$.

Пример. 16,8,4,2,1,1/2… Геометрическая прогрессия, у которой первый член равен шестнадцати, а $q=\frac{1}{2}$.
$b_{n}=16*(\frac{1}{2})^{n-1}$.

Пример. 8,8,8,8… Геометрическая прогрессия, у которой первый член равен восьми, а $q=1$.
$b_{n}=8*1^{n-1}=8$.

Пример. 3,-3,3,-3,3… Геометрическая прогрессия, у которой первый член равен трем, а $q=-1$.
$b_{n}=3*(-1)^{n-1}$.

Пример. Дана геометрическая прогрессия $b_{1}, b_{2}, …, b_{n}, … $.
а) Известно,что $b_{1}=6, q=3$. Найти $b_{5}$.
б) Известно,что $b_{1}=6, q=2, b_{n}=768$. Найти n.
в) Известно,что $q=-2, b_{6}=96$. Найти $b_{1}$.
г) Известно,что $b_{1}=-2, b_{12}=4096$. Найти q.

Решение.
а) $b_{5}=b_{1}*q^4=6*3^4=486$.
б) $b_n=b_1*q^{n-1}=6*2^{n-1}=768$.
$2^{n-1}=\frac{768}{6}=128$,так как $2^7=128 => n-1=7; n=8$.
в) $b_{6}=b_{1}*q^5=b_{1}*(-2)^5=-32*b_{1}=96 => b_{1}=-3$.
г) $b_{12}=b_{1}*q^{11}=-2*q^{11}=4096 => q^{11}=-2048 => q=-2$.

Пример. Разность между седьмым и пятым членами геометрической прогрессии равны 192, сумма пятого и шестого члена прогрессии равна 192. Найти десятый член этой прогрессии.

Решение.
Нам известно, что: $b_{7}-b_{5}=192$ и $b_{5}+b_{6}=192$.
Мы так же знаем: $b_{5}=b_{1}*q^4$; $b_{6}=b_{1}*q^5$; $b_{7}=b_{1}*q^6$.
Тогда:
$b_{1}*q^6-b_{1}*q^4=192$.
$b_{1}*q^4+b_{1}*q^5=192$.
Получили систему уравнений:
$\begin{cases}b_{1}*q^4(q^2-1)=192\\b_{1}*q^4(1+q)=192\end{cases}$.
Приравняв, наши уравнения получим:
$b_{1}*q^4(q^2-1)=b_{1}*q^4(1+q)$.
$q^2-1=q+1$.
$q^2-q-2=0$.
Получили два решения q: $q_{1}=2, q_{2}=-1$.
Последовательно подставим во второе уравнение:
$b_{1}*2^4*3=192 => b_{1}=4$.
$b_{1}*(-1)^4*0=192 =>$ нет решений.
Получили что: $b_{1}=4, q=2$.
Найдем десятый член: $b_{10}=b_{1}*q^9=4*2^9=2048$.

Сумма конечной геометрической прогрессии

Пусть дана конечная геометрическая прогрессия: $b_{1},b_{2},…,b_{n-1},b_{n}$.
Введем обозначение суммы ее членов: $S_{n}=b_{1}+b_{2}+⋯+b_{n-1}+b_{n}$.
В случае, когда $q=1$. Все члены геометрической прогрессии равны первому члену, тогда очевидно, что $S_{n}=n*b_{1}$.
Рассмотрим теперь случай $q≠1$.
Умножим указанную выше сумму на q.
$S_{n}*q=(b_{1}+b_{2}+⋯+b_{n-1}+b_{n})*q=b_{1}*q+b_{2}*q+⋯+b_{n-1}*q+b_{n}*q=b_{2}+b_{3}+⋯+b_{n}+b_{n}*q$.
Заметим:
$S_{n}=b_{1}+(b_{2}+⋯+b_{n-1}+b_{n})$.
$S_{n}*q=(b_{2}+⋯+b_{n-1}+b_{n})+b_{n}*q$.

$S_{n}*q-S_{n}=(b_{2}+⋯+b_{n-1}+b_{n})+b_{n}*q-b_{1}-(b_{2}+⋯+b_{n-1}+b_{n})=b_{n}*q-b_{1}$.

$S_{n}(q-1)=b_{n}*q-b_{1}$.

$S_{n}=\frac{b_{n}*q-b_{1}}{q-1}=\frac{b_{1}*q^{n-1}*q-b_{1}}{q-1}=\frac{b_{1}(q^{n}-1)}{q-1}$.

$S_{n}=\frac{b_{1}(q^{n}-1)}{q-1}$.

Мы получили формулу суммы конечной геометрической прогрессии.

Решение.
$S_{7}=\frac{4*(3^{7}-1)}{3-1}=2*(3^{7}-1)=4372$.

Пример.
Найти пятый член геометрической прогрессии, о которой известно: $b_{1}=-3$; $b_{n}=-3072$; $S_{n}=-4095$.

Решение.
$b_{n}=(-3)*q^{n-1}=-3072$.
$q^{n-1}=1024$.
$q^{n}=1024q$.

$S_{n}=\frac{-3*(q^{n}-1)}{q-1}=-4095$.
$-4095(q-1)=-3*(q^{n}-1)$.
$-4095(q-1)=-3*(1024q-1)$.
$1365q-1365=1024q-1$.
$341q=1364$.
$q=4$.
$b_5=b_1*q^4=-3*4^4=-3*256=-768$.

Характеристическое свойство геометрической прогрессии

Числовая последовательность является геометрической прогрессией, только когда квадрат каждого её члена равен произведению двух соседних с ним членов прогрессии. Не забываем, что для конечной прогрессии это условие не выполняется для первого и последнего члена.

Модуль любого члена геометрической прогрессии равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов.

Решение.
Воспользуемся характеристическим свойством:
$(2x+2)^2=(x+2)(3x+3)$.
$4x^2+8x+4=3x^2+3x+6x+6$.
$x^2-x-2=0$.
$x_{1}=2$ и $x_{2}=-1$.
Подставим последовательно в исходные выражение, наши решения:
При $x=2$, получили последовательность: 4;6;9 – геометрическая прогрессия, у которой $q=1,5$.
При $х=-1$, получили последовательность: 1;0;0.
Ответ: $х=2.$

Задачи для самостоятельного решения