Главная→Подарки→ Основные формулы в задачах на вклады и кредиты.

Основные формулы в задачах на вклады и кредиты.

Расставьте все недостающие знаки препинания: укажите цифру(-ы), на месте которой(-ых) в предложении должна(-ы) стоять запятая(-ые).

Прощай(1) моя родина! Север(2)прощай, -

Навеки(3) останусь я сыном твоим!

Прощайте(4) вершины под кровлей снегов,

Прощайте(5)долины и скаты лугов,

Прощайте(6)поникшие в бездну леса,

(С. Маршак )

Пояснение (см. также Правило ниже).

Приведем верное написание.

Прощай, моя родина ! Север , прощай, -

Отечество славы и доблести край.

По белому свету судьбою гоним,

Навеки останусь я сыном твоим!

Прощайте, вершины под кровлей снегов ,

Прощайте, долины и скаты лугов ,

Прощайте, поникшие в бездну леса ,

(С. Маршак )

В этом стихотворении 6 обращений, все они выделяются запятыми.

Ответ: 124567

Актуальность: Текущий учебный год

Сложность: повышенная

Раздел кодификатора: Знаки препинания в предложениях со словами и конструкциями, грамматически не связанными с членами предложения

Правило: Вводные слова и обращение. Задание 18 ЕГЭ., Вводные слова и обращение. Задание 18 ЕГЭ.

Расставьте знаки препинания: укажите цифру(-ы), на месте которой(-ых) в предложении должна(-ы) стоять запятая(-ые).

(М.Ю. Лермонтов)

Например: Очевидно ; К счастью .

вводными предложениями . Например: Вечор, ты помнишь , вьюга злилась.. . (Пушкин).

К вводным единицам примыкают вставные конструкции (два) я велел выслать в Ялту ; , о Моцарте.

ГРУППЫ ВВОДНЫХ СЛОВ.

…

Может может быть , он заболел. Ты, должно быть кажется , его где-то видела.

Ты, очевидно возможно , уеду отдыхать. Ты, видно

наверно (=должно быть) верно точно естественно

Он хороший спортсмен. Кстати , учится он тоже хорошо.

Ее родители, подруги и, между прочим , лучший друг против поездки.

Прежде всего

С этого холма, действительно Несомненно безусловно собственно , и вся история.

И, потом Далее , мы скажем о своих выводах. Таким образом наконец в конце концов

Дождь, однако однако !

Однако , это невероятно сложно.

Его работы, вообще

Ваш ребенок, по-моему , простудился. Это, по-вашему

Мы, конечно , готовы помочь тебе во всем.

Я, во всяком случае во всяком случае

Я во всяком случае

в самом деле , строишь из себя умника?

в свою очередь в свою очередь

Сообщение сложное, значит значит значит , она чувствует свою правоту.

Он не хотел обижать её, а, наоборот наоборот , целый день сидит дома.

Миша, по крайней мере

С точки зрения моей бабушки с точки зрения экзаменаторов

в частности в частности

главным образом главным образом

Многие русские люди, главным образом

например

Во многих больших городах, например например

например

с одной стороны с другой с одной стороны с другой С одной стороны с другой .

Татьяна, милая Татьяна! С тобой теперь я слезы лью Жизнью пользуйся, живущий Шуми, шуми, послушное ветрило ; Не шуми ты, рожь , спелым колосом .

Личные местоимения ты и вы , как правило, выступают не в роли обращения , а в роли подлежащего: Простите, мирные долины , и вы , знакомых гор вершины , и вы , знакомые леса !

Старик! О прежнем позабудь; Молодой уроженец Неаполя!

Думай же, мастер культуры ; Привет вам, люди мирного труда!; Ты здесь, миленький? ; Свинья ты, братец …

; Васька! Васька! Васька! Здорово!

и или да , запятой не разделяются: Пойте, люди, города и реки! Пойте, горы, степи и поля! ; Здравствуй, солнце да утро весёлое!

Иван Ильич , распорядись, братец , насчёт закуски; …Я потому, Фома , не лучше ли, брат , расстаться?

Крепче, конское , бей, копыто , отчеканивая шаг! ; , тебя мы видим, сорок первый год .

В задании 18 проверяется умение ставить знаки препинания при словах, грамматически не связанных с предложением. К таким относятся и вводные слова (конструкции, словосочетания, предложения), вставные конструкции и обращения

В ЕГЭ 2016-2017 года одна часть заданий 18 будет представлена формой повествовательного предложения с вводными словами

Дача (1) может быть (2) названа колыбелью, с которой для каждого из нас начиналось постижение мира, поначалу ограниченное садом, затем огромной улицей, потом участками и (3) наконец (4) всей загородной стороной.

Другая часть (судя по демоверсии и книге И.П. Цыбулько Типовые экзаменационные материалы 2017) будет выглядеть вот так:

Послушай(1)быть может (2)когда мы покинем

Навек этот мир, где душою так стынем,

Быть может(3) в стране, где не знают обману,

Ты (4) ангелом будешь, я демоном стану!

Клянися тогда позабыть (5)дорогая(6)

Для прежнего друга все счастие рая!

Пусть (7)мрачный изгнанник, судьбой осужденный,

Тебе будет раем, а ты мне - вселенной!

(М.Ю. Лермонтов)

Рассмотрим правила и понятия, необходимые для выполнения данного типа заданий.

17.1 Общее понятие о вводных словах и основное правило их выделения.

Вводные слова - это слова (или словосочетания), грамматически не связанные с предложением и вносящие дополнительные смысловые оттенки. Например: Очевидно , общение с детьми развивает в человеке многие добрые свойства ; К счастью , тайна так и осталась тайной .

Данные значения передаются не только вводными словами, но и вводными предложениями . Например: Вечор, ты помнишь , вьюга злилась.. . (Пушкин).

К вводным единицам примыкают вставные конструкции , которые содержат различные добавочные замечания, поправки и разъяснения. Вставные конструкции, как и вводные, не связаны с другими словами в предложении. Они резко разрывают предложение. Например: Журналы иностранной литературы (два) я велел выслать в Ялту ; Маша говорила с ним о Россини (Россини только что входил в моду) , о Моцарте.

Главная ошибка большинства пишущих связана с неточным знанием списка вводных слов. Поэтому прежде всего следует выучить, какие именно слова могут быть вводными, какие группы вводных слов могут быть выделены и какие слова никогда не бывают вводными.

ГРУППЫ ВВОДНЫХ СЛОВ.

1. вводные слова, выражающие чувства говорящего в связи со сказанным: к счастью, к несчастью, к сожалению, к досаде, к ужасу, на беду, чего доброго…

2. вводные слова, выражающие оценку говорящим степени достоверности того, что он сказал: конечно, несомненно, разумеется, бесспорно, очевидно, безусловно, наверное, возможно, верно, может быть, должно быть, кажется, по всей видимости, по-видимому, по существу, по сути, думаю… Эта группа вводных слов наиболее многочисленна.

3. вводные слова, указывающие на последовательность излагаемых мыслей и их связь между собой: во-первых, итак, следовательно, в общем, значит, кстати, далее, впрочем, наконец, с одной стороны … Эта группа также достаточно большая и коварная.

4. вводные слова, указывающие на приемы и способы оформления мыслей: словом, другими словами, иначе говоря, вернее, точнее, так сказать…

5. вводные слова, указывающие на источник сообщения: говорят, по-моему, по словам…, по слухам, по сведениям…, по мнению…, на мой взгляд, помнится…

6. вводные слова, представляющие собой обращение говорящего к собеседнику: видишь (ли), знаете, пойми, простите, пожалуйста, согласись…

7. вводные слова, указывающие на оценку меры того, о чем говорится: самое большее, по крайней мере…

8. вводные слова, показывающие степень обычности сказанного: бывает, случалось, по обыкновению…

9. вводные слова, выражающие экспрессивность высказывания: кроме шуток, смешно сказать, честно говоря, между нами говоря…

17.1. 1 НЕ ЯВЛЯЮТСЯ ВВОДНЫМИ СЛОВАМИ и поэтому не выделяются запятыми на письме следующие слова:

буквально, будто, вдобавок, вдруг, ведь, вот, вон, вряд ли, все-таки, в конечном счете, едва ли, даже, именно, исключительно, как будто, как бы, как раз, между тем, почти, поэтому, потому, приблизительно, примерно, притом, причем, просто, решительно, словно… - в эту группу входят частицы и наречия, наиболее часто оказывающиеся ошибочно обособленными как вводные.

по традиции, по совету…, по указанию…, по требованию…, по распоряжению…, по замыслу… - эти сочетания выступают в качестве необособленных (невыделяемых запятыми) членов предложения:

По совету старшей сестры она решила поступить в МГУ.

По распоряжению врача больной был посажен на строгую диету.

17.1. 2 В зависимости от контекста одни и те же слова могут выступать то в роли вводных слов, то в качестве членов предложения.

МОЖЕТ и МОЖЕТ БЫТЬ, ДОЛЖНО БЫТЬ, КАЖЕТСЯ (КАЗАЛОСЬ) выступают в качестве вводных, если указывают на степень достоверности сообщаемого:

Может , я приду завтра? Нашего учителя нет уже два дня; может быть , он заболел. Ты, должно быть , в первый раз встречаешься с таким явлением. Я, кажется , его где-то видела.

Эти же слова могут оказаться в роли сказуемых:

Что мне может принести встреча с тобой? Как человек может быть столь необязательным ! Это должно быть твоим самостоятельным решением. Мне все это кажется очень подозрительным . Заметьте: никогда нельзя выбросить из предложения его сказуемое, а вводное слово - можно.

ОЧЕВИДНО, ВОЗМОЖНО, ВИДНО оказываются вводными, если указывают на степень достоверности высказывания:

Ты, очевидно , хочешь извиниться за свой поступок? В следующем месяце я, возможно , уеду отдыхать. Ты, видно , не хочешь рассказать нам всей правды?

Эти же слова могут войти в состав сказуемых:

Всем стало очевидно , что надо искать другой способ решения проблемы. Это стало возможно благодаря согласованным действиям пожарной бригады. Солнца не видно из-за туч.

НАВЕРНО, ВЕРНО, ТОЧНО, ЕСТЕСТВЕННО оказываются вводными при указании на степень достоверности сообщаемого (в этом случае они взаимозаменяемы или могут быть заменены на близкие по смыслу слова этой группы) - Ты, наверно (=должно быть) , и не понимаешь, как важно сделать это вовремя. Вы, верно , и есть тот самый Сидоров? Она, точно , была красавицей. Все эти рассуждения, естественно , пока только наши предположения.

Эти же слова оказываются членами предложения (обстоятельствами) – Он верно (=правильно, обстоятельство образа действия) перевел текст. Наверно не знаю (=наверняка, обстоятельство образа действия), но он должен был сделать это назло мне. Ученик точно (=правильно) решил задачу. Это естественно (=естественным образом) привело нас к единственно правильному ответу.

КСТАТИ является вводным словом, если указывает на связь мыслей:

Он хороший спортсмен. Кстати , учится он тоже хорошо.

Это же слово выступает не как вводное в значении "заодно":

Пойду прогуляюсь, кстати куплю хлеба.

МЕЖДУ ПРОЧИМ оказывается вводным словом, указывая на связь мыслей:

Ее родители, подруги и, между прочим , лучший друг против поездки.

Это слово может употребляться как невводное в контексте:

Он произнес длинную речь, в которой между прочим отметил, что вскоре станет нашим начальником.

ПРЕЖДЕ ВСЕГО как вводное слово указывает на связь мыслей:

Прежде всего (=во-первых), нужно ли вообще поднимать столь щекотливую тему?

Это же слово может выступать как обстоятельство времени (=сначала):

Прежде всего я хочу передать привет от твоих родителей.

Нужно сказать, что в одной и той же фразе "прежде всего" может рассматриваться как вводное, так и нет в зависимости от воли автора.

ДЕЙСТВИТЕЛЬНО, НЕСОМНЕННО, БЕЗУСЛОВНО, СОБСТВЕННО будут вводными, если указывают на степень достоверности сообщаемого:

С этого холма, действительно (=точно, в самом деле, без всякого сомнения), открывался самый лучший вид. Несомненно (=в самом деле, действительно), ваш ребенок способен к музыке. Он, безусловно , читал этот роман. – или на прием оформления мыслей – Вот, собственно , и вся история.

Эти же слова не являются вводными, если выступают в других значениях:

Я и действительно таков, каким ты меня представляла (=в действительности, на самом деле). Он был несомненно талантливым композитором (=без сомнения, на самом деле). Она безусловно права, предлагая нам такой простой путь решения проблемы (=очень даже, вполне права). Я не имел ничего собственно против школы, но в эту идти не хотел (=вообще, именно). Слова "действительно" и "безусловно" в зависимости от интонации, предложенной говорящим, может в одном и том же контексте быть или вводным, или нет.

И, потом , она оказалась знаменитостью. Далее , мы скажем о своих выводах. Таким образом (=итак), наши результаты ничуть не противоречат полученным другими учеными. Она умная, красивая и, наконец , она очень добра ко мне. Что же, в конце концов , вы от меня хотите? Обычно предложения, содержащие указанные выше слова, завершают ряд перечислений, сами слова имеет значение "и еще". В контексте выше могут встретиться слова "во-первых", "во-вторых", "с одной стороны" и т.д. "Таким образом" в значении вводного слова оказывается не только завершением перечисления, но и выводом.

Эти же слова не выделяются как вводные в значениях: "таким образом" = "таким способом":

Таким образом он и смог передвинуть тяжелый шкаф.

Обычно в предыдущем контексте встречаются обстоятельства времени, например "сначала". "Потом" = "затем, после этого":

А потом он стал известным ученым.

"Наконец" = "под конец, напоследок, после всего, в результате всего":

Наконец все дела были благополучно завершены. Обычно в этом значении к слову "наконец" может быть добавлена частица "-то", что невозможно сделать, если "наконец" является вводным словом. В тех же значениях, что указаны выше для "наконец", не является вводным сочетание "в конце концов":

В конце концов (=в результате) соглашение было достигнуто.

ОДНАКО является вводным, если стоит в середине или в конце предложения:

Дождь, однако , шел уже вторую неделю, несмотря на прогнозы синоптиков. Как я его ловко, однако !

"Однако" не оказывается вводным в начале предложения и в начале части сложного предложения, когда оно выступает в роли противительного союза (=но): Однако люди не хотели верить в его добрые намерения. Мы не надеялись на встречу, однако нам повезло.

Обращаем внимание на то, что иногда слово «однако» может стоять и в начале предложения, но не выполнять функцию союза: Однако , это невероятно сложно.

ВООБЩЕ является вводным в значении "вообще говоря", когда оно указывает на способ оформления мыслей:

Его работы, вообще , представляет интерес только для узкого круга специалистов. В других значениях слово "вообще" является наречием в значении "в целом, совсем, во всех отношениях, при всех условиях, всегда":

Островский для русского театра то же, что Пушкин для литературы вообще . По новому закону курить на рабочем месте вообще запрещено.

ПО-МОЕМУ, ПО-ТВОЕМУ, ПО-НАШЕМУ, ПО-ВАШЕМУ являются вводными, указывая на источник сообщения:

Ваш ребенок, по-моему , простудился. Это, по-вашему , что-то доказывает? Слово "по-своему" вводным не является: Он по-своему прав.

КОНЕЧНО чаще всего является вводным, указывает на степень достоверности высказывания:

Мы, конечно , готовы помочь тебе во всем.

Иногда это слово не обособляется, если интонационно выделяется тоном уверенности, убежденности. В этом случае слово "конечно" считается усилительной частицей: Я конечно бы согласился, если бы ты предупредил меня заранее.

ВО ВСЯКОМ СЛУЧАЕ чаще является вводным и употребляется для оценки:

Я, во всяком случае , не хотел бы вспоминать об этом. Эти слова, во всяком случае , свидетельствуют о серьезности его отношения к жизни.

В значении "всегда, при любых обстоятельствах" это сочетание вводным не является:

Я во всяком случае должен был встретить его сегодня и поговорить с ним.

В САМОМ ДЕЛЕ чаще НЕ является вводным, выступая в значении "действительно" - Петя в самом деле хорошо разбирается в компьютерах. Я здесь в самом деле не при чем. Реже это словосочетание оказывается вводным, если служит для выражения недоумения, возмущения – Что это ты, в самом деле , строишь из себя умника?

В СВОЮ ОЧЕРЕДЬ может быть вводным, когда указывает на связь мыслей или на способ оформления мысли:

Среди множества современных писателей интерес вызывает Владимир Сорокин, а среди его книг, в свою очередь , можно особо выделить "Роман". Попросив меня помочь ему в работе, он, в свою очередь , тоже не стал бездельничать. Это же словосочетание может быть невводным в значениях "в ответ", "со своей стороны" (= когда наступает очередь) – Маша в свою очередь рассказала о том, как она провела лето.

ЗНАЧИТ является вводным, если оно может быть заменено словами "следовательно", "стало быть":

Сообщение сложное, значит , его нужно передать сегодня. Дождь уже кончился, значит , мы можем идти гулять. Если она так упорно борется с нами, значит , она чувствует свою правоту.

Это слово может оказаться сказуемым, близким по смыслу к "означает":

Собака значит для него больше , чем жена. Когда по-настоящему дружишь с человеком, это значит , что ему во всем доверяешь. "Значит" может оказаться между подлежащим и сказуемым, особенно когда они выражены инфинитивами. В этом случае перед "значит" ставится тире:

Обижаться - значит признавать себя слабым. Дружить - значит доверять своему другу.

НАОБОРОТ является вводным, если указывает на связь мыслей:

Он не хотел обижать её, а, наоборот , пытался попросить у неё прощения. Вместо того, чтобы заниматься спортом, она, наоборот , целый день сидит дома.

Не является вводным сочетание "и наоборот", которое может выступать в качестве однородного члена предложения, оно употребляется как слово, замещающее целое предложение или его часть:

Весною девушки меняются: брюнетки становятся блондинками и наоборот (т.е. блондинки брюнетками). Чем больше ты занимаешься, тем более высокие оценки получаешь, и наоборот (т.е. если занимаешься мало, оценки будут плохие; запятая перед "и" оказывается в конце части предложения – получается как бы сложносочиненное предложение, где "наоборот" замещает его вторую часть). Я знаю, что он выполнит мою просьбу и наоборот (т.е. я выполню его, перед "и" нет запятой, так как "наоборот" замещает однородное придаточное).

ПО КРАЙНЕЙ МЕРЕ является вводным, если имеет значение оценки:

Миша, по крайней мере , знает, как нужно себя вести, а не ковыряется вилкой в зубах.

Это словосочетание может употребляться в значениях "не меньше чем", "самое меньшее", тогда оно не обособляется:

Она по крайней мере будет знать, что её отец не зря прожил жизнь. По крайней мере пятеро из класса должны принять участие в лыжных гонках.

С ТОЧКИ ЗРЕНИЯ является вводным в значении "по мнению":

С точки зрения моей бабушки , девушка не должна носить брюки. Её ответ, с точки зрения экзаменаторов , достоин самой высокой оценки.

Тот же оборот может иметь значение "в отношении" и тогда вводным не является:

Работа идет по плану с точки зрения сроков. Если оценивать поведение героев некоторых литературных произведений с точки зрения современной морали, то его следует считать безнравственным.

В ЧАСТНОСТИ выделяется как вводное, если указывает на связь мыслей в высказывании: Её интересует, в частности , вопрос о вкладе этого ученого в развитие теории относительности. Фирма принимает активное участие в благотворительной деятельности и, в частности , помогает детскому дому № 187.

Если сочетание В ЧАСТНОСТИ оказалось в начале или в конце присоединительной конструкции, то оно от этой конструкции не отделяется (об этом более подробно будет идти речь в следующем разделе):

Я люблю книги о животных, в частности о собаках. Мои друзья, в частности Маша и Вадим, отдыхали этим летом в Испании. Указанное сочетание не выделяется как вводное, если оно соединено союзом "и" со словом "вообще":

Разговор зашел о политике вообще и в частности о последних решениях правительства.

ГЛАВНЫМ ОБРАЗОМ является вводным, когда служит для оценки какого-нибудь факта, его выделения в высказывании: Учебник следует переписать и, главным образом , добавить в него такие главы… Комната использовалась по торжественным случаям и, главным образом , для организации парадных обедов.

Это сочетание может входить в состав присоединительной конструкции, в этом случае, если оно стоит в ее начале или в конце, не отделяется от самой конструкции запятой:

Многие русские люди, главным образом представители интеллигенции, не верили обещаниям правительства.

В значении "в первую очередь", "больше всего" это сочетание не является вводным и не обособляется:

Он боялся сочинения главным образом из-за своей безграмотности. Мне в нем нравится главным образом его отношение к родителям.

НАПРИМЕР всегда будет вводным, но оформляется по-разному. Оно может быть выделено запятыми с двух сторон:

Павел Петрович человек крайне внимательный к своему внешнему виду, например , он тщательно ухаживает за своими ногтями. Если "например" оказывается в начале или в конце уже обособленного члена, то запятой от этого оборота оно не обособляется:

Во многих больших городах, например в Москве, складывается неблагоприятная экологическая обстановка. Некоторые произведения русских писателей, например "Евгений Онегин" или "Война и мир", послужили основой для создания художественных фильмом не только в России, но и в других странах. Кроме того, после "например" может стоять двоеточие, если "например" стоит после обобщающего слова перед рядом однородных членов:

Некоторые фрукты могут вызвать аллергию, например : апельсины, мандарины, ананас, красные ягоды.

17.1.3 Существуют особые случаи постановки знаков препинания при вводных словах.

Для выделения вводных слов и предложений могут использоваться не только запятые, но и тире, а также сочетания тире и запятой.

Эти случаи не входят в курс средней школы и в заданиях ЕГЭ не используются. Но некоторые обороты, часто используемые, нужно запомнить. Приводим примеры из Справочника по пунктуации Розенталя.

Так, если вводное сочетание образует неполную конструкцию (пропущено какое-либо слово, восстанавливаемое из контекста), то оно выделяется запятой и тире: Макаренко неоднократно подчёркивал, что педагогика основана, с одной стороны , на безграничном доверии к человеку, а с другой - на высоких к нему требованиях; Чичиков велел остановиться по двум причинам: с одной стороны , чтобы дать отдохнуть лошадям, с другой - чтобы и самому отдохнуть и подкрепиться (запятая перед придаточной частью «поглощается» тире); С одной стороны , важно было принять срочное решение, но требовалась осторожность - с другой .

17.2 Общее понятие об обращении и основное правило его выделения.

Впервые включено в задания ЕГЭ в 2016-2017 году. Учащимся предстоит искать обращения в стихотворных произведениях, что значительно усложняет задачу.

Обращения - это слова, называющие того, к кому обращаются с речью. Обращение имеет форму именительного падежа и произносится с особой интонацией: Татьяна, милая Татьяна! С тобой теперь я слезы лью . Обращения обычно выражаются одушевленными существительными, а также прилагательными и причастиями в значении существительных. Например: Жизнью пользуйся, живущий . В художественной речи обращениями могут быть и существительные неодушевленные. Например: Шуми, шуми, послушное ветрило ; Не шуми ты, рожь , спелым колосом .

17.1.2. Существуют и более сложные правила выделения обращений.

1. Если обращение, стоящее в начале предложения, произносится с восклицательной интонацией, то после него ставится восклицательный знак (следующее за обращением слово пишется с прописной буквы): Старик! О прежнем позабудь; Молодой уроженец Неаполя! Что оставил в России ты на поле?

2. Если обращение стоит в конце предложения, то перед ним ставится запятая, а после него - тот знак препинания, который требуется содержанием и интонацией предложения: Думай же, мастер культуры ; Привет вам, люди мирного труда!; Ты здесь, миленький? ; Свинья ты, братец …

3.Повторяющиеся обращения разделяются запятой или восклицательным знаком: Степь широкая, степь безлюдная , отчего ты так смотришь пасмурно?; Здравствуй, ветер, грозный ветер, попутный ветер всемирной истории! ; Васька! Васька! Васька! Здорово!

4.Однородные обращения, соединенные союзом и или да , запятой не разделяются: Пойте, люди, города и реки! Пойте, горы, степи и поля! ; Здравствуй, солнце да утро весёлое!

5. При наличии нескольких обращений к одному лицу, находящихся в разных местах предложения, каждое из них выделяется запятыми: Иван Ильич , распорядись, братец , насчёт закуски; …Я потому, Фома , не лучше ли, брат , расстаться?

6. Если распространенное обращение «разорвано» другими словами - членами предложения, то каждая часть обращения выделяется запятыми по общему правилу: Крепче, конское , бей, копыто , отчеканивая шаг! ; За кровь и слёзы жаждавший расплаты , тебя мы видим, сорок первый год .

15 апреля планируется взять кредит в размере 900 тысяч рублей в банке на 11 месяцев.
Условия его возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на р% по сравнению с концом предыдущего месяца;

- на 15-е число каждого с 1-го по 10-й месяц долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
- 15-го числа 10-го месяца долг составлял 200 тысяч рублей;
- к 15-му числу 11-го месяца долг должен быть погашен полностью.
Найдите р, если банку всего было выплачено 1021 тысяча рублей.

15 апреля планируется взять в банке кредит на 700 тысяч рублей на (n + 1) месяц.
Условия его возврата таковы:

- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить одним платежом часть долга;
- 15-го числа каждого с 1-го по n-й месяц долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
- 15-го числа n-го месяца долг составлял 300 тысяч рублей;
- к 15-му числу (n + 1)-го месяца долг должен быть погашен полностью.
Найдите n, если банку всего было выплачено 755 тысяч рублей.

15 августа планируется взять кредит в размере 1100 тысяч рублей в банке на 31 месяц.
Условия его возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить одним платежом часть долга;
- на 15-е число каждого с 1-го по 30-й месяц долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
- к 15-му числу 31-го месяца долг должен быть погашен полностью.
Сколько тысяч рублей составляет долг на 15-е число 30-го месяца, если банку всего выплачено 1503 тысяч рублей?

15-го марта планируется взять кредит в банке на некоторую сумму на 11 месяцев.
Условия его возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить одним платежом часть долга;
- 15-го числа каждого месяца с 1-го по 10-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
- 15-го числа 10-го месяца долг составит 300 тысяч рублей;

Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1388 тысяч рублей?

15-го декабря планируется взять кредит в банке на 11 месяцев.
Условия его возврата таковы:

- 15-го числа каждого месяца с 1-го по 10-й долг должен быть на 80 тысяч рублей меньше долга на 15-ечисло предыдущего месяца;
- к 15-му числу 11-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какой долг будет 15-го числа 10-го месяца, если общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1198 тысяч рублей?

15-го декабря планируется взять кредит в банке на сумму 300 тысяч рублей на 21 месяц. Условия возврата таковы:

- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
- 15-го числа 20-го месяца долг составит 100 тысяч рублей;

Найдите общую сумму выплат после полного погашения кредита.

15-го декабря планируется взять кредит в банке на 1 000 000 рублей на (n+1) месяц. Условия его возврата таковы:
-1-го числа каждого месяца долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего месяца;
- cо 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца с 1-го по n-й долг должен быть на 40 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
- 15-го числа n-го месяца долг составит 200 тысяч рублей;
- к 15-му числу (n + 1)-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Найдите r, если известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита составит 1378 тысяч рублей.

15-го декабря планируется взять кредит в банке на 21 месяц. Условия возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца с 1-го по 20-й долг должен быть на 30 тысяч рублей меньше долга на 15-е число предыдущего месяца;
- к 15-му числу 21-го месяца кредит должен быть полностью погашен.
Какую сумму планируется взять в кредит, если общая сумма выплат после полного его погашения составит 1604 тысячи рублей?

25 мая планируется взять кредит в банке на 1,5 года. Условия его возврата таковы:
- 1 числа каждого месяца долг возрастает на 7% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- с 1 по 10 число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 25 числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 25 число предыдущего месяца.
Какую сумму надо выплатить банку, если средняя ежемесячная выплата за весь срок кредитования будет равна 18 500 рублей?

Мебельная фабрика производит книжные шкафы и серванты. На изготовление одного книжного шкафа расходуется 4/3 м^2 древесно‐стружечной плиты, 4/3 м^2 сосновой доски и 2/3 человеко‐часа рабочего времени. На изготовление одного серванта расходуется 2 м^2 древесно‐стружечной плиты, 1,5 м^2 сосновой доски и 2 человеко‐часа рабочего времени. Прибыль от реализации одного книжного шкафа составляет 500 руб., а серванта – 1200 руб. В течении одного месяца в распоряжении фабрики имеются: 180 м^2 древесно‐стружечной плиты, 165 м^2 сосновых досок и 160 человеко‐часов рабочего времени. Какова максимально ожидаемая месячная прибыль?

Некоторое предприятие изготавливает продукцию двух видов - A и B, используя при этом три вида ресурсов: M, N и K. Нормы использования ресурсов и их за- пасы приведены в таблице.

Требуется определить максимально возможную выручку предприятия при реализации продукции, если цены на продукцию A и B составляют соответственно 1500 и 900 рублей за единицу соответствующей продукции. Ответ укажите в тысячах рублей.

Мальчики трёх одиннадцатых классов к празднику 8 марта покупали девочкам цветы. Если каждой девочке первого класса подарить 3 цветка, каждой девочке второго класса подарить 5 цветков, а каждой девочке третьего класса подарить 7 цветков, то потребуется не менее 40 и не более 50 цветков.

Если каждой девочке первого класса подарить 5 цветков, каждой девочке второго класса подарить 7 цветков, а каждой девочке третьего класса подарить 3 цветка, то потребуется то же количество цветков, которое нужно, чтобы каждой девочке первого класса подарить 7 цветков, каждой девочке второго класса подарить 3 цветка, а каждой девочке третьего класса подарить 5 цветков. Найдите общее количество девочек, обучающихся в 11-х классах, если известно, что в третьем классе девочек больше, чем во втором.

Сумма вклада увеличивалась первого числа каждого месяца на 2% по отношению к сумме на первое число предыдущего месяца. Аналогично, цена на кирпич возрастала на 36% ежемесячно. Отсрочив покупку кирпича, 1 мая в банк положили некоторую сумму. На сколько процентов меньше в этом случае можно купить кирпича на 1 июля того же года на всю сумму, полученную из банка вместе с процентами?

При подготовке к Новому году было решено купить несколько ёлочных украшений двух видов, при условии, что стоимость украшений разных видов не должна отличаться больше чем на 2 рубля. Если купить 7 украшений первого вида и 8 второго, то придётся заплатить более 165 рублей. Если же купить 8 украшений первого вида и 7 второго, то придётся заплатить меньше 165 рублей. Найдите стоимость украшения каждого вида.

Мальчики двух одиннадцатых классов к празднику 8 марта покупали девочкам цветы. Если каждой девочке первого класса подарить 3 цветка, а каждой девочке второго класса подарить 7 цветков, то потребуется меньше 70 цветков. Если каждой девочке первого класса подарить 7 цветков, а каждой девочке второго класса - 3 цветка, то потребуется больше 70 цветков. Найдите число девочек, обучающихся в 11-х классах, если числа девочек в классах отличаются меньше чем на три.

Завод имеет сборочные линии трёх типов: A, B, C. На каждой из них производятся изделия двух типов. Количество изделий каждого типа, производимое каждой линией, представлено в таблице.

По контракту должно быть произведено 1030 изделий первого типа и 181 изделие второго типа. Какое наименьшее количество сборочных линий может быть задействовано?

Между городами A и B летают самолёты трёх типов, для которых возможности перевоза пассажиров и грузовых контейнеров представлены в таблице

По условиям контракта должны быть перевезены 1790 пассажиров и 195 грузовых контейнеров. Найдите, какое наименьшее количество самолётов потребуется.

На двух шахтах добывается руда: на первой шахте 100 тонн в день, на второй -220 тонн в день. Добытая руда перерабатывается на двух заводах. Первый способен переработать не более 200 тонн руды в день, а второй - не более 250 тонн руды в день. Стоимость перевозки одной тонны руды от шахты на завод представлена в таблице.

Найдите наименьшую стоимость перевозок.

Вкладчик решил разместить в банке 1000 тысяч рублей сроком на 1 год. Банк предлагает две стратегии: первая - начислить 7% годовых, если вклад будет размещён целиком. Либо предлагается разбить вклад на три части. Тогда на меньшую часть будет начислено 15%, на среднюю - 10% и на большую будет начислено 5% годовых. Какую наибольшую прибыль может получить вкладчик, если большая часть должна отличаться от меньшей части не менее чем на 100 тысяч рублей, но не более чем на 300 тысяч рублей?

Заёмщиком была взята на 3 года в банке сумма, равная 691 000 рублей, под 10% годовых с условием, что вторая выплата будет вдвое больше первой, а третья - втрое больше первой, и выплаты производятся после начисления процентов на остаток займа. Какова была сумма первой выплаты?

16 ноября Никита взял в банке в кредит 1 млн. руб. на шесть месяцев. Условия возврата кредита таковы:

28-го числа каждого месяца долг увеличивается на 10 % по сравнению с 16-м числом текущего месяца;

С 1-го по 10-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

В случае задержки выплат (от 1 до 5 дней) дополнительно взимаются пени: за каждые просроченные сутки 1% от суммы, которую необходимо было выплатить в текущем месяце;

16-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии с таблицей:

Определите, сколько тысяч рублей Никита выплатит банку сверх взятого кредита, если известно, что он осуществлял выплаты 7 декабря, 12 января, 10 февраля, 9 марта, 1 апреля и 15 мая.

Ларин 17) Иван Петрович получил кредит в банке под определенный процент годовых. Через год в счет погашения кредита он вернул в банк 1/6 от всей суммы, которую он должен банку к этому времени. А еще через год в счет полного погашения кредита Иван Петрович внес в банк сумму, на 20% превышающую величину полученного кредита. Каков процент годовых по кредиту в данном банке?

В двух коробках лежат карандаши: в первой красные, во второй - синие, причем, красных было меньше, чем синих. Сначала 40% карандашей из первой коробки переложили во вторую. Затем 20% карандашей, оказавшихся во второй коробке, переложили в первую, причем половину из переложенных карандашей составляли синие. После этого красных карандашей в первой коробке оказалось на 26 больше, чем во второй, а общее количество карандашей во второй коробке увеличилось по сравнению с первоначальным более, чем на 5%. Найдите общее количество синих карандашей.

В июле Виктор планирует взять в кредит 2,5 млн рублей. Условия его возврата таковы:

Каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с кондом предыдущего года;

С февраля по июнь каждого года Виктор должен выплатить некоторую часть долга.

На какое минимальное количество лет Виктор может взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 760 тысяч рублей?

Через сколько полных лет у Сергея на счету будет не менее 950 000 руб., если он намерен каждый год класть на счет 260 000 руб., при условии, что банк раз в год 31 декабря начисляет 10% на имеющуюся сумму.

Митрофан хочет взять в кредит 1,7 млн. рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10% годовых. На какое минимальное количество лет может Митрофан взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 300 тысяч рублей?

31 декабря 2016 года Василий взял в банке 5 460 000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредита следующая - 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на 20%), затем Василий переводит в банк x рублей. Какой должна быть сумма, чтобы Василий выплатил долг тремя равными платежами (то есть за три года)?

В августе планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

С февраля по июль каждого года необходимо выплатить часть долга, равную 1080 тыс. рублей. Сколько тысяч рублей было взято в банке, если известно, что кредит был полностью погашен тремя равными платежами (то есть за 3 года)?

Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят [b]10t тыс. рублей в конце года t (t = 1;2;3;...). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счет в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счете будет увеличиваться в 1+r раз. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на его счете была наибольшей. Расчеты показали, что для этого ценные бумаги нужно продавать строго в конце одиннадцатого года. При каких положительных значениях r это возможно?

Вадим является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары при использовании одинаковых технологий. Если рабочие на одном из заводов трудятся суммарно t^2 часов в неделю, то за эту неделю они производят t единиц товара. За каждый час работы на заводе, расположенном в первом городе, Вадим платит рабочему 500 рублей, а на заводе, расположенном во втором городе, - 300 рублей. Вадим готов выделять 1 200 000 рублей в неделю на оплату труда рабочих. Какое наибольшее количество единиц товара можно произвести за неделю на этих двух заводах?

В июле 2016 года Инга планирует взять кредит на шесть лет в размере 4,2 млн р. Условия его возврата таковы:

В июле 2017, 2018, 2019 и 2020 годов долг остаётся равным 4,2 млн р.;

Выплаты в 2021 и 2022 годах равны;

К июлю 2022 года долг будет выплачен полностью.

На сколько миллионов рублей последняя выплата будет больше первой?

В июле 2016 года Тимур планирует взять кредит в банке на четыре года в размере S млн р., где S - целое число. Условия его возврата следующие:

Каждый январь долг увеличивается на 15% по сравнению с концом предыдущего года;

Выплата должна производиться один раз в год с февраля по июнь;

В июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей:

Найдите наибольшее значение S, при котором общая сумма выплат Тимура будет меньше 30 млн р.

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на сумму 400000 рублей. Условия его возврата таковы:

Каждый январь долг возрастает на r % по сравнению с концом предыдущего года;

Найдите число r, если известно, что кредит был полностью погашен за два года, причем в первый год было переведено 330000 рублей, а во второй год - 121000 рублей.

В июле 2020 года планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

Каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;

С февраля по июнь каждого года необходимо выплачивать одним платежом часть долга

Сколько рублей было взято в банке, если известно, что кредит был полностью погашен тремя равными платежами (то есть за 3 года) и сумма платежей превосходит взятую в банке сумму на 77200 рублей?

В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:

Каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;

С февраля по июнь каждого года необходимо выплачивать часть долга

Найдите r, если известно, что если выплачивать по 777600 рублей, то кредит будет погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 1317600 рублей, то кредит будет полностью погашен за 2 года?

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 18 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;

На сколько лет был взят кредит, если известно, что общая сумма выплат после его погашения равнялась 27 млн рублей?

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 9 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

Каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года.

Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наибольший годовой платёж составит 3,6 млн рублей?

В июле 2026 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн рублей, где S - целое число. Условия его возврата таковы:

Каждый январь долг увеличивается на 20% по сравнению с концом предыдущего года

С февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга

В июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей

Найдите наибольшее значение S, при котором каждая из выплат будет меньше 5 млн рублей.

Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят t^2 руб. в конце каждого года t(t=1;2...) конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счёт в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счете будет увеличиваться в (1+ r) раз. Пенсионный фонд хочет продать ценные бумаги в конце такого года, чтобы в конце двадцать пятого года сумма на его счете была наибольшей Расчеты показали, что для этого ценные бумаги необходимо продавать строго в конце двадцать первого года. При каких положительных r это возможно?

Зоопарк распределяет 111 кг. мяса между лисами, леопардами и львами. Каждой лисе полагается 2 кг. мяса, леопарду – 14 кг., льву 21 кг. Известно, что у каждого льва бывает ежедневно 230 посетителей, у каждого леопарда – 160, у каждой лисы 20. Сколько должно быть лис, леопардов и львов в зоопарке, что бы ежедневно число посетителей у этих животных было наибольшим?

На собрании акционеров было решено увеличить прибыль предприятия за счет расширения ассортимента продукции. Экономический анализ показал, что

1) дополнительные доходы, приходящиеся на каждый новый вид продукции, окажутся равными 70 млн. руб. в год;

2) дополнительные расходы при освоении одного нового вида составят 11 млн.руб. в год, а освоение каждого последующего вида потребует на 7 млн. руб. в год больше расходов, чем освоение предыдущего. Найти значение максимально возможного прироста прибыли.

Гражданин положил 1 млн рублей в банк на 4 года. В конце каждого года на лежащую сумму начисляется 10%. Он решил в конце каждого из 3‐х первых лет (после начисления процентов) снимать одинаковую сумму денег. Эта сумма должна быть такой, чтобы после 4‐х лет после начисления процентов за 4‐й год у него на счету было не менее 1200 тыс рублей. Какую максимальную сумму может снимать гражданин. Ответ округлить до целой тысячи в меньшую сторону.

Саша и Паша положили по 100 тыс. руб. в банк под 10% годовых сроком на три года. При этом Паша через год снял n тыс. руб. (n – целое число), а еще через год снова доложил n тыс. руб. на свой счет. При каком наименьшем значении n через три года разность между суммами на счету Саши и Паши окажется не менее 3 тыс. руб.

Планируется выдать кредит на целое число миллионов рублей на 5 лет. В середине каждого года действия кредита долг заёмщика возрастает на 10% по сравнению с началом года. В конце 1-го, 2-го и 3-го годов заёмщик выплачивает только проценты по кредиту, оставляя долг неимение равным первоначальному. В конце 4-го и 5-го годов заёмщик выплачивает одинаковые суммы, погашая весь долг полностью. Найдите наибольший размер кредита, при котором общая сумма выплат заемщика будет меньше 6 млн рублей.

Фермер может продавать картофель по цене 10 000 руб. за центнер, а свеклу - по цене 18 000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?

Накануне Нового года Деды Морозы раскладывали равными количествами конфеты в подарочные пакеты, а эти пакеты складывали в мешки, по 2 пакета в один мешок. Те же самые конфеты они могли разложить в пакеты так, что в каждом из них было бы на 5 конфет меньше, чем раньше, но тогда в каждом мешке стало бы лежать по 3 пакета, а мешков при этом потребовалось бы на 2 меньше. Какое наибольшее количество конфет могли раскладывать Деды Морозы?

Из пункта А в пункт В со скоростью 80 км/ч выехал первый автомобиль, а через некоторое время с постоянной скоростью – второй. После остановки на 20 мин в пункте В второй автомобиль поехал с той же скоростью назад. Через 48 км он встретил первый автомобиль, шедший навстречу, и был на расстоянии 120 км от В в тот момент, когда в пункт В прибыл первый автомобиль. Найти расстояние от А до места первой встречи, если расстояние между пунктами А и В равно 480 км.

В магазин поступил товар I и II сортов на общую сумму 4,5 млн. руб. Если весь товар продать по цене II сорта, то убытки составят 0,5 млн. руб., а если весь товар реализовать по цене I сорта, то будет полечена прибыль 0,3 млн. руб. На какую сумму был приобретен товар I и II сортов в отдельности?

В двух шахтах добывают алюминий и никель. В первой шахте имеется 80 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 1 кг алюминия или 2 кг никеля. Во второй шахте имеется 200 рабочих, каждый из которых готов трудиться 5 часов в день. При этом один рабочий за час добывает 2 кг алюминия или 1 кг никеля.

Обе шахты поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом шахты договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Некоторое предприятие приносит убытки, составляющие 300 млн. руб. в год. Для превращения его в рентабельное было предложено увеличить ассортимент продукции. Подсчеты показали, что дополнительные доходы, приходящиеся на каждый новый вид продукции, составят 84 млн. руб. в год, а дополнительные расходы, окажутся равными 5 млн. руб. в год при освоении одного нового вида, но освоение каждого последующего потребует на 5 млн. руб. в год больше расходов, чем освоение предыдущего. Какое минимальное количество видов новой продукции необходимо освоить, чтобы предприятие стало рентабельным? Какой наибольшей годовой прибыли может добиться предприятие за счёт увеличения ассортимента продукции?

Стоимость разработки электронной версии учебника
некоторого издания равна 800 тыс. рублей. Затраты
на производство х тысяч таких электронных учебников
в этом издательстве равны (x^2+6x+22100) тысяч рублей
в год. Если учебники продавать по цене а руб. за единицу,
то прибыль издательства за один год составит ax-(x^2+6x+22100).
Издательство будет выпускать учебники в таком количестве,
чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении а
разработка учебника окупится не более чем за 2 года?

16 ноября близнецы Саша и Паша взяли в банке кредит по 500 тысяч руб. каждый сроком на четыре месяца. Условия возврата кредита таковы:

28-го числа каждого месяца долг увеличивается на 10 % по сравнению с 16м числом текущего месяца;

С 1-го по 15-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга; 16-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии с предложенной для каждого из них таблицей:

Кто из братьев за четыре месяца выплатит банку меньшую сумму? На сколько рублей?

1 марта 2016 года Валерий положил в банк 100 тыс. руб. под 10% годовых сроком на 4 года. Через два года он планирует снять со своего счета n тыс. руб. (n - целое число) с таким расчётом, чтобы к 1 марта 2020 года у него на счету оказалось не менее 130 тыс. руб. Какую наибольшую сумму n может снять со своего счёта Валерий 1 марта 2018 года?

Два пешехода идут навстречу друг другу: один из А в В, а другой - из В в А. Они вышли одновременно, и когда первый прошел половину пути, второму оставалось идти еще 1,5 часа, а когда второй прошел половину пути, то первому оставалось идти еще 45 минут. На сколько минут раньше закончит свой путь первый пешеход, чем второй?

В начале января 2017 года планируется взять кредит в банке на S млн. рублей, где S - целое число, на 4 года. Условия его возврата таковы:

Каждый июль долг возрастает на 10% по сравнению с началом текущего года;
- с августа по декабрь каждого года необходимо выплатить часть долга;
- в январе каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей:

Найдите наибольшее значение S, при котором разность между наибольшей и наименьшей выплатами не будет превышать 2 млн. руб.

По вкладу «Классика» банк в конце каждого года планирует начислять 12% годовых, а по вкладу «Бонус» - увеличивать сумму вклада на 7% в первый год и на одинаковое целое число n процентов в последующие годы.

Найдите наименьшее значение n, при котором за 4 года хранения вклад «Бонус» окажется выгоднее вклада «Классика» при равных суммах первоначальных взносов.

В мае 2017 года планируется взять кредит в банке на шесть лет в размере S млн рублей. Условия его возврата таковы:

Каждый декабрь каждого года долг возрастает на 10%;
- с января по апрель каждого года необходимо выплатить часть долга;
- в мае 2018, 2019 и 2020 годов долг остается равным S млн рублей;
- выплаты в 2021, 2022 и 2023 годах равны между собой;
- к маю 2023 года долг будет выплачен полностью.

Найдите наименьшее целое S, при котором общая сумма выплат не превысит 13 млн рублей.

На первый курс на специальность «Оборудование и машины» поступило 46 человек: 34 мальчика и 12 девочек. Их распределяют по двум группам численностью 22 и 24 человека, причем в каждой группе должна учиться по крайней мере одна девочка. Каким должно быть распределение по группам, чтобы сумма чисел, равных процентам девочек в первой и второй группах, была наибольшей?

Лев взял кредит в банке на срок 40 месяцев. По договору Лев должен вернуть кредит ежемесячными платежами. В конце каждого месяца к оставшейся сумме долга добавляется p% этой суммы, затем следует платеж Льва.

Ежемесячные платежи подбираются таким образом, чтобы долг уменьшался равномерно.

Известно, что наибольший платеж Льва был в 25 раз меньше первоначальной суммы долга. Найдите p.

18 декабря 2015 года Андрей взял в банке 85 400 рублей в кредит под 13,5% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 18 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга, затем Андрей переводит в банк X рублей. Какой должна быть сумма X, чтобы Андрей выплатил долг целиком двумя равными платежами?

Иван хочет взять в кредит 1 млн рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Процентная ставка 10% годовых. На какое минимальное количество лет Иван может взять кредит, чтобы ежегодные выплаты не превышали 250 тысяч рублей?

1 февраля 2016 года Андрей Петрович взял в банке 1,6 млн рублей в кредит. Схема выплаты кредита следующая: 1-го числа каждого следующего месяца банк начисляет 1% на оставшуюся сумму долга, затем Андрей Петрович переводит в банк платеж. На какое минимальное количество месяцев Андрей Петрович должен взять кредит, чтобы ежемесячные выплаты не превышали 350 тыс. рублей?

12 ноября 2015 года Дмитрий взял в банке 1 803 050 рублей в кредит под 19% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 12 ноября каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга, затем Дмитрий переводит в банк X рублей. Какой должна быть сумма X, чтобы Дмитрий выплатил долг целиком тремя равными платежами?

По двум взаимно перпендикулярным шоссе в направлении их пересечения одновременно начинают двигаться два автомобиля: один со скоростью 80 км/ч, другой - 60 км/ч. В начальный момент времени каждый автомобиль находится на расстоянии 100 км от перекрестка. Определите время после начала движения, через которое расстояние между автомобилями будет наименьшим. Каково это расстояние?

Аркадий, Семён, Ефим и Борис учредили компанию с уставным капиталом 200 000 рублей. Аркадий внес 14% уставного капитала, Семён - 42 000 рублей, Ефим - 12% уставного капитала, а оставшуюся часть капитала внёс Борис. Учредители договорились делить ежегодную прибыль пропорционально внесённому в уставной капитал вкладу. Какая сумма от прибыли 500 000 рублей причитается Борису? Ответ дайте в рублях.

В двух областях есть по 250 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,2 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи х кг алюминия в день требуется х^2 человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется у^2 человеко-часов труда.

В двух областях есть по 50 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,2 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи x кг алюминия в день требуется x^2 человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется y^2 человеко-часов труда.

Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 1 кг алюминия приходится 2 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

Тимофей хочет взять в кредит 1,1 млн рублей. Погашение кредита происходит раз в год равными суммами (кроме, может быть, последней) после начисления процентов. Ставка процента 10% годовых. На какое минимальное количество лет может Тимофей взять кредит, чтобы ежегодные выплаты были не более 270 тысяч рублей?

Галина взяла в кредит 12 млн. рублей на срок 24 месяца. По договору Галина должна возвращать банку часть денег в конце каждого месяца. Каждый месяц общая сумма долга возрастает на 3%, а затем уменьшается на сумму, уплаченную Галиной банку в конце месяца. Суммы, выплачиваемые Галиной, подбираются так, чтобы сумма долга уменьшалась равномерно, то есть на одну и ту же величину каждый месяц. На сколько рублей больше Галина вернет банку в течение первого года кредитования по сравнению со вторым годом?

15-го января планируется взять кредит в банке на 15 месяцев. Условия его возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3 % по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

Известно, что восьмая выплата составила 99,2 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?

31 декабря 2014 года Олег взял в банке некоторую сумму в кредит под некоторый процент годовых. Схема выплаты кредита следующая - 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (то есть увеличивает долг на а%), затем Олег переводит очередной транш. Если он будет платить каждый год по 328 050 рублей, то выплатит долг за 4 года. Если по 587 250 рублей, то за 2 года. Найдите а.

Два одинаковых бассейна одновременно начали наполняться водой. В первый бассейн поступает в час на 30 м^3 больше воды, чем во второй. В некоторый момент в двух бассейнах вместе оказалось столько воды, сколько составляет объем каждого из них. После этого через 2 ч 40 мин наполнился первый бассейн, а еще через 3 ч 20 мин - второй. Сколько воды поступало в час во второй бассейн? За какое время наполнился второй бассейн?

1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

Со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Сколько процентов от суммы кредита составляет общая сумма денег, которую нужно выплатить банку за весь срок кредитования?

20-го декабря Валерий взял кредит в банке на сумму 500 тысяч руб. сроком на пять месяцев. Условия возврата кредита таковы:

5-го числа каждого месяца долг увеличивается на целое число n процентов по сравнению с предыдущим месяцем;

С 6-го по 19-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

20-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии с таблицей:

Найдите наименьшее n, при котором сумма выплат сверх взятого кредита (выплаты по процентам) составит более 200 тыс. руб.

Три станка-автомата разной мощности должны изготовить по 800 деталей. Сначала запустили первый станок, спустя 20 мин - второй, а еще через 35 мин -третий. Каждый из них работал без сбоев и остановок, причем в ходе работы был момент, когда каждый станок выполнил одну и ту же часть задания. На сколько минут раньше второго станка закончил работу третий, если первый справился с заданием через 1 ч 28 мин после третьего?

В двух областях есть по 90 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 5 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,3 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи x кг алюминия в день требуется x^2 человеко-часов труда, а для добычи y кг никеля в день требуется y^2 человеко-часов труда.

Для нужд промышленности можно использовать или алюминий, или никель, причём 1 кг алюминия можно заменить 1 кг никеля. Какую наибольшую массу металлов можно добыть в двух областях суммарно для нужд промышленности?

В июле 2016 года планируется взять кредит в банке на три года в размере S млн рублей, где S - целое число. Условия его возврата таковы:

Каждый январь долг увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить одним платежом часть долга;
- в июле каждого года долг должен составлять часть кредита в соответствии со следующей таблицей.

Найдите наименьшее значение S, при котором каждая из выплат будет больше 5 млн рублей

1 августа 2016 года Валерий открыл в банке счёт «Пополняй» на четыре года под 10% годовых, вложив 100 тыс. рублей.

1 августа 2017 и 1 августа 2019 года он планирует докладывать на счёт по n тыс. рублей. Найдите наименьшее целое n, при котором к 1 августа 2020 года на счету у Валерия окажется не менее 200 тыс. рублей.

15-го января планируется взять кредит в банке на шесть месяцев в размере 1 млн рублей. Условия его возврата таковы:

1-го числа каждого месяца долг увеличивается на г процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где г - целое число;

Со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей

Найдите наибольшее значение г, при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн рублей.

В июле взят кредит на 8,8 млн руб на несколько лет. В начале каждого следующего года остаток долга увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года. До 1 июля каждого года клиент должен вернуть часть долга таким образом, чтобы по состоянию на 1 июля долг ежегодно уменьшался на одну и ту же сумму. Последняя выплата составляет 1 млн руб. Найти общую сумму выплат банку.

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 14 млн рублей на некоторый срок (целое число лет). Условия его возврата таковы:

Каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на июль предыдущего года

Чему будет равна общая сумма выплат после полного погашения кредита, если наименьший годовой платёж составит 3,85 млн рублей?

В начале года фирма «Жилстройсервис» выбирает банк для получения кредита среди нескольких банков, кредитующих под разные проценты. Полученным кредитом фирма планирует распорядиться следующим образом: 75% кредита направить на строительство коттеджей, а остальные 25% на оказание риэлтерских услуг населению. Первый проект может принести прибыль в размере от 36% до 44% годовых, а второй -от 20% до 24% годовых. В конце года фирма должна вернуть кредит банку с процентами и при этом рассчитывает на чистую прибыль от указанных видов деятельности от не менее 13%, но и не более 21% годовых от всего полученного кредита. Какими должны быть наименьшая и наибольшая процентные ставки кредитования выбираемых банков, чтобы фирма гарантированно обеспечила себе указанный выше уровень прибыли?

15-го января 2012 года банк выдал кредит на сумму 1 млн рублей. Условия его возврата были таковы:
- 1-го января каждого года долг возрастает на а% по сравнению с концом предыдущего года;
- выплата части долга происходит в январе каждого года после начисления процентов.
Кредит был погашен за два года, и при этом в первый год была переведена сумма в 600 тыс. рублей, а во второй раз – 550 тыс. рублей.
Найдите а.

Строительство нового завода стоит 78 млн рублей. Затраты на производство х тыс. ед. продукции на таком заводе равны 0,5х²+2x+6 млн. рублей в год. Если продукцию завода продать по цене р тыс. рублей за единицу, то прибыль фирмы (в млн рублей) за один год составит (px-(0,5х²+2x+6)). Когда завод будет построен, фирма будет выпускать продукцию в таком количестве, чтобы прибыль была наибольшей. При каком наименьшем значении р строительство завода окупится не более, чем за 3 года?

В начале 2001 года Алексей приобрел ценную бумагу за 25000 рублей. В конце каждого года цена бумаги возрастает на 3000 рублей. В начале любого года Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счет. Каждый год сумма на счете будет увеличиваться на 10 %. В начале какого года Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через пятнадцать лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счете была наибольшей?

На каждом из двух комбинатов работает по 1800 человек. На первом комбинате один рабочий изготавливает за смену 1 деталь А или 2 детали В. На втором комбинате для изготовления t деталей(и А, и В) требуется t^2 человеко-смен.

На каждом из двух комбинатов работает по 200 человек. На первом комбинате один рабочий изготавливает за смену 1 деталь А или 3 детали В. На втором комбинате для изготовления t деталей(и А, и В) требуется t^2 человеко-смен.

Оба эти комбината поставляют детали на комбинат, из которых собирают изделие, для изготовления которого нужна 1 деталь А и 1 деталь В. При этом комбинаты договариваются между собой изготавливать детали так, чтобы можно было собрать наибольшее количество изделий. Сколько изделий при таких условиях может собрать комбинат за смену?

На каждом из двух комбинатов изготавливают детали А и В. На первом комбинате работает 40 человек, и один рабочий изготавливает за смену 15 деталей А или 5 деталей В. На втором комбинате работает 160 человек, и один рабочий изготавливает за смену 5 деталей А или 15 деталей В.

Оба эти комбината поставляют детали на комбинат, из которых собирают изделие, для изготовления которого нужно 2 детали А и 1 деталь В. При этом комбинаты договариваются между собой изготавливать детали так, что бы можно было собрать наибольшее количество изделий. Сколько изделий при таких условиях может собрать комбинат за смену?

Для производства некоторого продукта В, содержащего 40% спирта, Алексей может закупать сырьё у двух поставщиков А и Б. Поставщик А предлагает 90%–ый раствор спирта в канистрах объёмом 1000 л по цене 100 тыс. руб. за канистру. Поставщик Б предлагает 80%–ый раствор спирта в канистрах объёмом 2000 л по цене 160 тыс. руб. за канистру. Полученный в ходе производства продукт В разливается в бутылки объёмом 0,5 л. Какую наименьшую сумму Алексей должен затратить на сырье, если планируется произвести ровно 60000 бутылок продукта В?

1 марта 2016 г. Иван Львович положил 20000 рублей на банковский вклад сроком на 1 год с ежемесячным начислением процентов и капитализацией под 21% годовых. Это означает, что первого числа каждого месяца сумма вклада увеличивается на одно и то же количество процентов, рассчитанное таким образом, что за 12 месяцев она увеличится ровно на 21%. Через сколько месяцев сумма вклада впервые превысит 22 000 рублей?

15 мая бизнесмен запланировал взять кредит в банке в размере 12 млн рублей на 19 месяцев. Условия его возврата таковы:

1–го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом прошлого месяца;

Со 2–го по 14–е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

15–го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше, чем долг на 15–е число предыдущего месяца.

На сколько процентов больше по отношению к взятому кредиту придется заплатить бизнесмену?

Для производства некоторого продукта В, содержащего 40% спирта, Алексей может закупать сырьё у двух поставщиков А и Б. Поставщик А предлагает 90%-ый раствор спирта в канистрах объёмом 1000 л по цене 100 тыс. руб. за канистру. Поставщик Б предлагает 80%-ый раствор спирта в канистрах объёмом 2000 л по цене 160 тыс. руб. за канистру. Полученный в ходе производства продукт В разливается в бутылки объёмом 0,5 л. Какую наименьшую сумму Алексей должен затратить на сырье, если планируется произвести ровно 60000 бутылок продукта В?

Владимир владеет двумя заводами по производству холодильников. Производительность первого завода не превышает 950 холодильников в сутки. Производительность второго завода первоначально составляла 95% от производительности первого. После ввода дополнительной линии второй завод увеличил производство холодильников в сутки ровно на 23% от числа холодильников, производимых на первом заводе, и стал выпускать их более 1000 штук. Сколько холодильников за сутки выпускал каждый завод до реконструкции второго завода?

1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

Со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

Известно, что на четвёртый месяц кредитования нужно выплатить 54 тыс. рублей. Какую сумму нужно вернуть банку в течение всего срока кредитования?

В июле клиент взял кредит на сумму 8,8 млн рублей на несколько лет.

Условия его возврата следующие:

В начале каждого следующего года остаток долга увеличивается на 25% по сравнению с концом предыдущего года.
-до 1 июля каждого года клиент должен вернуть банку часть долга таким образом, чтобы по сравнению на 1 июля долг ежегодно уменьшался на одну и ту же сумму.

Известно,что последняя выплата составит 1 млн рублей. Найдите общую сумму выплат,которую клиент заплатит банку.

Подруги Полина и Кристина мечтают стать моделями. 1 января они решили начать худеть. При этом вес у Полины оказался на 10 % больше, чем у Кристины.

В феврале Кристина собирается похудеть еще на 2%.

А) На какое наименьшее целое число % нужно похудеть в феврале Полине, чтобы к 1 марта её вес стал меньше, чем у Кристины?

Б) Сколько будет весить к концу февраля Кристина, если известно, что 1 января Полина весила 55 кг?

Вклад планируется открыть на четыре года. Первоначальный вклад составляет целое число миллионов рублей. В конце каждого года вклад увеличивается на 10% по сравнению с его размером в начале года, а, кроме того, в начале третьего и четвертого годов вклад ежегодно пополняется на 3 млн рублей. Найдите наибольший размер первоначального вклада, при котором через четыре года вклад будет меньше 25 млн рублей.

На каждом из двух комбинатов работает по 20 человек. На первом комбинате один рабочий изготавливает за смену 2 детали А или 2 детали В. На втором комбинате для изготовления t деталей (и А, и В) требуется t^2 человеко-смен.

1-го числа каждого месяца долг возрастает на 2% по сравнению с концом предыдущего месяца;

Со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

Известно, что на пятый месяц (со 2 по 14 июня) кредитования нужно выплатить банку 44 тыс. рублей. Какую сумму нужно выплатить банку в течение всего срока кредитования?

У фермера есть 2 поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свеклу, поле можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожай картофеля на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором - 200 ц/га. Урожай свеклы на первом поле составляет 200 ц/га, а на втором - 300 ц/га.

Фермер может продать картофель по цене 4000 руб. за центнер, а свеклу- по цене 5000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?

Цех получил заказ на изготовление 2000 деталей типа А и 14000 деталей типа Б. Каждый из 146 рабочих цеха затрачивает на изготовление одной детали типа А время, за которое он мог бы изготовить 2 детали типа Б. Каким образом следует разделить рабочих цеха на две бригады, чтобы выполнить заказ за наименьшее время, при условии, что обе бригады приступят к работе одновременно, и каждая из бригад будет занята изготовлением деталей только одного типа?

На каждом из двух комбинатов работает по 100 человек. На первом комбинате один рабочий изготавливает за смену 3 детали А или 1 деталь В. На втором комбинате для изготовления t деталей (и А, и В) требуется t^2 человеко-смен.

Оба эти комбината поставляют детали на комбинат, из которых собирают изделие, для изготовления которого нужна 1 деталь А и 3 детали В. При этом комбинаты договариваются между собой изготавливать детали так, чтобы можно было собрать наибольшее количество изделий. Сколько изделий при таких условиях может собрать комбинат за смену?

17 декабря 2014 года Анна взчла в банке 232050 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая:17 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга, а затем Анна переводит в банк X рублей. Какой должна быть сумма X, чтобы Анна возвратила долг целиком четырьмя равными платежами?

Таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг возрастает на 3% по сравнению с концом предыдущего месяца;
- со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.
Какую сумму нужно вернуть банку в течение первого года (первых 12 месяцев) кредитования?

По бизнес-плану предполагается вложить в четырёхлетний проект 10 млн рублей. По итогам каждого года планируется прирост вложенных средств на 15 % по сравнению с началом года. Начисленные проценты остаются вложенными в проект. Кроме этого, сразу после начислений процентов нужны дополнительные вложения: целое число n млн рублей в первый и второй годы, а также целое число m млн рублей в третий и четвёртый годы.

Найдите наименьшие значения n и m, при которых первоначальные вложения за два года как минимум удвоятся, а за четыре года как минимум утроятся

В двух областях есть по 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,3 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи х кг алюминия в день требуется х^2 человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется у^2 человеко-часов труда.

Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 2 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод?

На сколько лет планируется взять кредит, если известно, что общая сумма выплат после его полного погашения составит 18 млн рублей?

У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свеклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 500 ц/га, а на втором - 300 ц/га. Урожайность свеклы на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором - 500 ц/га.
Фермер может продавать картофель по цене 2 000 руб. за центнер, а свеклу - по цене 3 000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?

10 июня в банке взяли кредит на 15 месяцев. При этом 3-го числа каждого месяца долг возрастает на а% по сравнению с концом предыдущего месяца, с 4 по 9-е число каждого месяца нужно выплатить часть долга, при этом 10-го числа долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 10-е число предыдущего месяца.

1-го числа каждого месяца долг возрастает на 1% по сравнению с концом предыдущего месяца;

Со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;

15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца. Известно, что за первые 12 месяцев нужно выплатить банку 177,75 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?

Предприниматель купил здание и собирается открыть в нем отель. В отеле могут быть стандартные номера площадью 21 квадратный метр и номера люкс площадью 49 квадратных метров. Общая площадь, которую можно отвести под номера составляет 1099 квадратных метров. Предприниматель может поделить эту площадь между между номерами различных типов, как хочет. Обычный номер приносит отелю 2000 рублей в сутки, а номер люкс 4500 рублей в сутки. Какую наибольшую сумму денег сможет заработать на своем отеле предприниматель?

- 15-го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на 15-е число предыдущего месяца.

Известно, что за последние 12 месяцев нужно выплатить банку 1597,5 тыс. рублей. Какую сумму планируется взять в кредит?

15‐го января планируется взять кредит в банке на 14 месяцев. Условия его возврата таковы:
‐ 1‐го числа каждого месяца долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего месяца;
‐ со 2‐го по 14‐е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
‐ 15‐ го числа каждого месяца долг должен быть на одну и ту же сумму меньше долга на 15 число предыдущего месяца.
Известно, что общая сумма выплат после полного погашения кредита на 15% больше суммы, взятой в кредит. Найдите r.

В начале 2001 года Алексей приобрёл ценную бумагу за 7000 рублей. В конце каждого года цена бумаги возрастает на 2000 рублей. В начале любого года Алексей может продать бумагу и положить вырученные деньги на банковский счёт. Каждый год сумма на счёте будет увеличиваться на 10%. В начале какого года Алексей должен продать ценную бумагу, чтобы через пятнадцать лет после покупки этой бумаги сумма на банковском счёте была наибольшей?

Григорий является владельцем двух заводов в разных городах. На заводах производятся абсолютно одинаковые товары, но на заводе, расположенном во втором городе, используется более совершенное оборудование.

В результате, если рабочие на заводе, расположенном в первом городе, трудятся суммарно t^2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 3t единиц товара; если рабочие на заводе, расположенном во втором городе, трудятся суммарно t^2 часов в неделю, то за эту неделю они производят 4t единиц товара.
- каждый январь долг возрастает на 10% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.
Сколько млн рублей составила общая сумма выплат после погашения кредита?

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 6 млн рублей на некоторый срок. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга;
- в июле каждого года долг должен быть на одну и ту же величину меньше долга на июль предыдущего года.
На какой минимальный срок следует брать кредит, чтобы наибольший годовой платеж по кредиту не превысил 1,8 млн рублей?

В июле планируется взять кредит на сумму 4026000 рублей. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на 20% по сравнению с концом прошлого года.
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить некоторую часть долга.
На сколько рублей больше придется отдать в случае, если кредит будет полностью погашен четырьмя равными платежами (то есть за 4 года) по сравнению со случаем, если кредит будет полностью погашен двумя равными платежами (то есть за 2 года)?

В июле планируется взять кредит в банке на сумму 100000 рублей. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на а% по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплатить часть долга.
Найдите число а, если известно, что кредит был полностью погашен за два года, причем в первый год было переведено 55000 руб., а во второй 69000 рублей.

В банк помещена сумма 3900 тысяч рублей под 50% годовых. В конце каждого из первых четырех лет хранения после вычисления процентов вкладчик дополнительно вносил на счет одну и ту же фиксированную сумму. К концу пятого года после начисления процентов оказалось, что размер вклада увеличился по сравнению с первоначальным на 725%. Какую сумму вкладчик ежегодно добавлял к вкладу?

Предприниматель взял в банке кредит на сумму 9930000 рублей под 10% годовых. Схема погашения кредита: раз в год клиент должен выплачивать банку одну и ту же сумму, которая состоит из двух частей. Первая часть составляет 10% от оставшейся суммы долга, а вторая часть направлена на погашение оставшейся суммы долга. Каждый следующий год проценты начисляются только на оставшуюся сумму долга. Какой должна быть ежегодная сумма выплаты (в рублях), чтобы предприниматель полностью погасил кредит тремя равными платежами?

Финансовая математика

За правильное выполненное задание без ошибок получишь 3 балла .

На решение отводится примерно 35 минут.

Чтобы решить задание 17 по математике профильного уровня нужно знать:

Задание подразделяется на несколько видов:
- задачи, связанные с банками, вкладами и кредитами;
- задачи на оптимальный выбор.
Формула расчета ежемесячного платежа: S кредит = S/12 t
Формула расчета простых процентов: S = α (1 + t p/m)
Формула расчета сложных процентов: С = x (1 + a%)n

Процент – это одна сотая часть какой-либо величины.

x*(1 + p/100) - величина x увеличилась на p %
x*(1 - k/100) - величина x уменьшилась на k %
x*(1 + p/100) k - величина x увеличилась на p % k раз
x*(1 + p/100)*(1 - k/100) – величина х сначала увеличилась на p %, а потом уменьшилась на k %

Задачи на погашение кредита равными платежами:

Размер кредита принимается за х. Процента банка – а. Выплата по кредиту – S.

Через год после начисления процентов и выплаты суммы S размер долга - x * (1 + a/100), p = 1 + a/100

Размер долга через 2 года: (xp – S)p – S
Размер долга через 3 года: ((xp – S)p – S)p – S
Размер долга через n лет: xp n – S(p n-1 + … + p 3 + p 2 + p + 1)

Задачи для тренировки

1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, где r - целое число;
со 2-го по 14-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
15-го числа каждого месяца долг должен составлять некоторую сумму в соответствии со следующей таблицей.

Найдите наибольшее значение r , при котором общая сумма выплат будет меньше 1,2 млн рублей.

Решение

9 месяцев. Условия возврата таковы:
- 1-го числа каждого месяца долг увеличивается на r процентов по сравнению с концом предыдущего месяца, причем r − целое число;
- со 2-го по 19-е число каждого месяца необходимо выплатить часть долга;
- 20-го числа каждого месяца долг должен составлять определенную сумму, представленную в следующей таблице:
Найдите наибольшее значение r, при котором общая сумма выплат не превысит 2 млн.руб.

Решение
Алиса собирается взять кредит в банке на 10 месяцев. Сотрудники банка сообщили ей следующую информацию о кредите:
- По окончанию месяца оставшаяся сумма кредита увеличивается на одинаковую месячную процентную ставку и уменьшается на сумму, выплаченную Алисой.
- Суммы оплаты кредита в конце каждого месяца одинаковы, причем подобраны так, чтобы сумма кредита каждый месяц уменьшалась равномерно.
- Общая сумма выплаченных Алисой денег превысит сумму кредита на 60%.
Найдите месячную процентную ставку по кредиту.

Решение
В 2014 году стандартная заработная плата на человека в месяц по Приморскому краю составляла 23040 рублей. Каждый год процент повышения дохода составлял 50. А в Хабаровском крае стандартная заработная плата на человека в месяц в 2014 году составляла 45000 рублей. Каждый год процент общего дохода жителей Хабаровского края повышался на 44 в течение трёх лет, каждый год процент населения возрастал на q. Стандартная месячная заработная плата по Приморскому краю и Хабаровскому краю сравнялась в 2017 году. Найдите q.

В этой статье рассмотрим решение задач из Задания 17, в которых требуется оптимальным образом распределить производство продукции для получения максимальной прибыли.

Задача 1. Консервный завод выпускает фруктовые компоты в двух видах тары - стеклянной и жестяной. Производственные мощности завода позволяют выпускать в день 90 центнеров компотов в стеклянной таре или 80 центнеров в жестяной таре. Для выполнения условий ассортиментности, которые предъявляются торговыми сетями, продукции в каждом из видов тары должно быть выпущено не менее 20 центнеров. В таблице приведены себестоимость и отпускная цена завода за 1 центнер продукции для обоих видов тары.

Предполагая, что вся продукция завода находит спрос (реализуется без остатка), найдите максимально возможную прибыль завода за один день (прибылью называется разница между отпускной стоимостью всей продукции и её себестоимостью).

Величина прибыли зависит от того, каким образом будут распределены производственные мощности на заводе, то есть какая часть мощностей будет направлена на выпуск компотов в стеклянной таре, а какая - в жестяной. Ту величину, от которой зависит прибыль примем за неизвестное.

Пусть величина - это часть мощностей завода, направленных на выпуск компотов в стеклянной таре. Тогда оставшиеся мощности, то есть направлены на выпуск компотов в жестяной таре.

В этом случае завод выпустит центнеров компота в стеклянной таре, и центнеров в жестяной.

Прибыль с одного центнера продукции равна разности между отпускной ценой и себестоимостью. Таким образом

1 центнер компотов в стеклянной таре приносит прибыль руб

1 центнер компотов в жестяной таре приносит прибыль руб

В итоге полученная прибыль в зависимости от составит

Упростим выражение для функции

Коэффициент при больше нуля, следовательно, это функция возрастающая, и чем больше значение , тем больше прибыль. Но по условию задачи нельзя отдать все мощности на производство компотов в стеклянной таре: для выполнения условий ассортиментности, которые предъявляются торговыми сетями, продукции в каждом из видов тары должно быть выпущено не менее 20 центнеров.

Найдем, какую часть мощностей нужно отдать под производство компотов в жестяной таре:

Под производство компотов в жестяной таре необходимо отдать часть всех мощностей завода, следовательно, под производство компотов в стеклянной таре можно отдать максимум всех мощностей.

Ответ: .

Задача 2. У фермера есть два поля, каждое площадью 10 гектаров. На каждом поле можно выращивать картофель и свёклу, поля можно делить между этими культурами в любой пропорции. Урожайность картофеля на первом поле составляет 500 ц/га, а на втором - 300 ц/га. Урожайность свёклы на первом поле составляет 300 ц/га, а на втором – 500 ц/га.

Фермер может продать картофель по цене 5000 руб. за центнер, а свёклу - по цене 8000 руб. за центнер. Какой наибольший доход может получить фермер?

(из сборника Типовые тестовые задания по математике, под редакцией И. В. Ященко. 2016 г.)

Величина дохода фермера зависит от того, каким образом будет распределена площадь каждого поля между посадками картофеля и свеклы.

Пусть на первом поле фермер отвел га под картофель. Тогда под свеклу остается га.

Урожайность картофеля на первом поле 500 ц/га, а свеклы 300 ц/га.

В этом случае прибыль с первого поля составит - перед нами возрастающая функция, которая принимает наибольшее значение при максимально возможном . Так как никаких ограничений по распределению площадей посадки между картофелем и свеклой перед фермером не стоит, ему выгодно все первое поле отдать под картофель, тогда он получит прибыль:

Руб.

Аналогично поступим со вторым полем.

Пусть на втором поле фермер отвел га под картофель. Тогда под свеклу остается га.

Урожайность картофеля на втором поле 300 ц/га, а свеклы 500 ц/га.

Если подумать, здесь даже не нужно составлять функцию, так как урожайность свеклы на втором поле выше, чем картофеля, и стоимость одного центнера свеклы также больше. Поэтому очевидно, что на втором поле фермеру выгоднее выращивать только свеклу. В этом случае прибыль со второго поля составит

Руб.

Общая прибыль фермера равна руб.

Ответ:

Сегодня мы немного отвлечемся от стандартных логарифмов, интегралов, тригонометрии и т.д., а вместе этого рассмотрим более жизненную задачу из ЕГЭ по математике, которая имеет прямое отношение к нашей отсталой российской сырьевой экономике. А если быть точным, мы рассмотрим задачу про вклады, проценты и кредиты. Потому что именно задачи с процентами с недавних пор добавлены во вторую часть единого государственного экзамена по математике. Сразу оговорюсь, что за решение этой задачи согласно спецификациям ЕГЭ предлагается сразу три первичных балла, т. е. экзаменаторы считают эту задачу одной из самых сложных.

Вместе с тем, для решения любой из указанных задач из ЕГЭ по математике необходимо знать всего лишь две формулы, каждая из которых вполне доступна любому школьному выпускнику, однако по непонятным мне причинам эти формулы начисто игнорируются как школьными учителями, так и составителями всевозможных задач для подготовки к ЕГЭ. Поэтому сегодня я не просто расскажу вам, что это за формулы и как их применять, а выведу каждую из этих формул буквально у вас на глазах, взяв за основу задачи из открытого банка ЕГЭ по математике.

Поэтому урок получился довольно объемный, довольно содержательный, поэтому устраивайтесь поудобнее, и мы начинаем.

Вкладываем деньги в банк

Прежде всего, хотелось бы сделать небольшое лирическое отступление, связанное с финансами, банками, кредитами и вкладами, на основании которых мы и получим те формулы, которые будем использовать для решения данной задачи. Итак, давайте немного отвлечемся от экзаменов, от предстоящих школьных проблем, и посмотрим в будущее.

Допустим, вы выросли и собираетесь покупать квартиру. Допустим, вы собираетесь покупать не какую-то плохую квартиру на окраине, а хорошую качественную квартиру за 20 миллионов рублей. При этом также предположим, что вы устроились на более-менее нормальную работу и зарабатываете по 300 тысяч рублей в месяц. В этом случае за год вы сможете отложить примерно три миллиона рублей. Разумеется, зарабатывая по 300 тысяч рублей в месяц, за год у вас получится чуть большая сумма — 3600000 — но эти 600000 пусть будут потрачены на еду, на одежду и на прочие ежедневные бытовые радости. Итого вводные данные таковы: необходимо заработать двадцать миллионов рублей, у нас же в распоряжении имеется лишь три миллиона рублей в год. Возникает естественный вопрос: сколько лет нам необходимо откладывать по три миллиона, чтобы получить эти самые двадцать миллионов. Считается это элементарно:

\[\frac{20}{3}=6,....\to 7\]

Однако как мы уже с вами отмечали, вы зарабатываете 300 тысяч рублей в месяц, это значит, что вы умные люди и не будете откладывать деньги «под подушку», а отнесете их в банк. И, следовательно, ежегодно на те вклады, которые вы принесете в банк, будут начисляться проценты. Допустим, вы выберете надежный, но при этом более-менее прибыльный банк, и поэтому ваши вклады ежегодно будут расти на 15% годовых. Другими словами можно сказать, что сумма на ваших счетах ежегодно будет увеличиваться в 1,15 раза. Напомню формулу:

Давайте посчитаем, сколько денег будет на ваших счетах после каждого года:

В первый год, когда вы только начнете откладывать деньги, никакие проценты не накопятся, т. е. в конце года вы отложите три миллиона рублей:

В конце второго года на те три миллиона рублей, которые остались с первого года, уже будут начислены проценты, т.е. нам нужно умножить на 1,15. Однако в течение второго года вы также доложили еще три миллиона рублей. Разумеется, на эти три миллиона еще не были начислены проценты, потому что к концу второго года эти три миллиона только появились на счету:

Итак, третий год. В конце третьего года на эту сумму будут начислены проценты, т. е. необходимо всю эту сумму умножить на 1,15. И опять же, в течение всего года вы усердно работали и еще отложили три миллиона рублей:

\[\left(3m\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m\]

Давайте рассчитаем еще четвертый год. Опять же, вся сумма, которая оказалась у нас к концу третьего года, умножается на 1,15, т.е. на всю сумму будут начислены проценты. В том числе, будут начислены проценты на проценты. И к этой сумме добавляется еще три миллиона, потому что в течение четвертого года вы также работали и также откладывали деньги:

\[\left(\left(3m\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m\]

А теперь давайте раскроем скобки и посмотрим, какая у нас будет сумма к концу четвертого года откладывания денег:

\[\begin{align}& \left(\left(3m\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m= \\& =\left(3m\cdot {{1,15}^{2}}+3m\cdot 1,15+3m \right)\cdot 1,15+3m= \\& =3m\cdot {{1,15}^{3}}+3m\cdot {{1,15}^{2}}+3m\cdot 1,15+3m= \\& =3m\left({{1,15}^{3}}+{{1,15}^{2}}+1,15+1 \right)= \\& =3m\left(1+1,15+{{1,15}^{2}}+{{1,15}^{3}} \right) \\\end{align}\]

Как видим, в скобках у нас стоят элементы геометрической прогрессии, т. е. у нас стоит сумма элементов геометрической прогрессии.

Напомню, что если геометрическая прогрессия задана элементом ${{b}_{1}}$, а также знаменателем $q$, то сумма элементов будет считаться по следующей формуле:

Эту формулу обязательно нужно знать и четко применять.

Обратите внимание: формула n -го элемента звучит следующим образом:

\[{{b}_{n}}={{b}_{1}}\cdot {{q}^{n-1}}\]

Из-за этой степени многие ученики путаются. В сумме у нас стоит просто n для суммы n- элементов, а сам n -й элемент имеет степень $n-1$. Другими словами, если мы сейчас попытаемся посчитать сумму геометрической прогрессии, то нужно учитывать следующее:

\[\begin{align}& {{b}_{1}}=1 \\& q=1,15 \\\end{align}\]

\[{{S}_{4}}=1\cdot \frac{{{1,15}^{4}}-1}{1,15-1}\]

Посчитаем числитель отдельно:

\[{{1,15}^{4}}={{\left({{1,15}^{2}} \right)}^{2}}={{\left(1,3225 \right)}^{2}}=1,74900625\approx 1,75\]

Итого, возвращаясь к сумме геометрической прогрессии, мы получим:

\[{{S}_{4}}=1\cdot \frac{1,75-1}{0,15}=\frac{0,75}{0,15}=\frac{75}{15}=5\]

В итоге мы получаем, что за четыре года накоплений наша исходная сумма увеличится не в четыре раза, как если бы мы не клали деньги в банк, а в пять раз, т. е. пятнадцать миллионов. Давайте запишем это отдельно:

4 года → 5 раз

Забегая вперед, скажу, что если бы мы копили не четыре года, а пять лет, то в итоге наша сумма накоплений увеличилась бы в 6,7 раза:

5 лет → 6,7 раз

Другими словами, к концу пятого года мы бы получили на счету следующую сумму:

Т. е. к концу пятого года накоплений с учетом процентов по вкладу мы бы уже получили свыше двадцати миллионов рублей. Таким образом, общий счет накоплений за счет банковских процентов снизился бы с почти семи лет до пяти лет, т. е. почти на два года.

Таким образом, даже, несмотря на то, что банк начисляет достаточно низкий процент на наши вклады (15%), уже через пять лет эти самые 15% дают прибавку, существенно превышающую наш ежегодный заработок. При этом основной мультипликационный эффект приходится на последние годы и даже, скорее, на последний год накоплений.

К чему я это все писал? Разумеется, не к тому, чтобы агитировать вас нести деньги в банк. Потому что если вы действительно хотите приумножить свои сбережения, то вкладывать их нужно не в банк, а в реально действующий бизнес, где эти самые проценты, т. е. рентабельность в условиях российской экономики редко опускается ниже 30%, т. е. вдвое больше банковских вкладов.

А вот что действительно полезно во всех этих рассуждениях, так это формула, которая позволяет нам найти итоговую сумму вклада через размер ежегодных платежей, а также через проценты, которые начисляет банк. Так и запишем:

\[\text{Vklad}=\text{platezh}\frac{{{\text{%}}^{n}}-1}{\text{%}-1}\]

Сам по себе % считается по следующей формуле:

Эту формулу также необходимо знать, как и основную формулу суммы вклада. А, в свою очередь, основная формула способна значительно сократить вычисления в тех задачах с процентами, где требуется посчитать именно вклад.

Почему стоит пользоваться формулами, а не таблицами?

У многих наверняка возникнет вопрос, а к чему вообще все эти сложности, нельзя ли просто расписать каждый год в табличке, как это делают во многих учебниках, посчитать отдельно каждый год, а затем посчитать общую сумму вклада? Конечно, можно вообще забыть про сумму геометрической прогрессии и все считать с помощью классических табличек — так сделано в большинстве сборников для подготовки к ЕГЭ. Однако, во-первых, резко увеличивается объем вычислений, а во-вторых, как следствие, увеличивается вероятность допустить ошибку.

Да и вообще, использовать таблицы вместо этой замечательной формулы — это то же самое, что на стройке копать траншеи руками вместо того, чтобы использовать стоящий рядом и полностью работающий экскаватор.

Ну, или то же самое, что умножить пятерку на десятку не с помощью таблицы умножения, а складывать пятерку с самой собой десять раз подряд. Впрочем, это я уже отвлекся, поэтому еще раз повторю самую главную мысль: если есть какой-то способ упростить и сократить вычисления, то именно этим способом и надо воспользоваться.

Проценты по кредитам

С вкладами мы разобрались, поэтому переходим к следующей теме, а именно — к процентам по кредитам.

Итак, пока вы копите деньги, скрупулезно планируете свой бюджет, думаете о своей будущей квартире, ваш одноклассник, а нынче простой безработный, решил жить сегодняшним днем и просто взял кредит. При этом он еще будет подкалывать и смеяться над вами, мол, у него кредитный телефон и подержанный автомобиль, взятый в кредит, а вы до сих пор ездите на метро и пользуетесь старым кнопочным телефоном. Разумеется, за все эти дешевые «понты» вашему бывшему однокласснику придется дорого расплатится. Насколько дорого — вот это именно сейчас мы и посчитаем.

Для начала краткая вводная информация. Допустим, ваш бывший одноклассник взял два миллиона рублей в кредит. При этом согласно договору он должен платить xрублей в месяц. Допустим, что кредит он взял по ставке 20% годовых, что в нынешних условиях выглядит вполне прилично. Кроме того, предположим, что срок кредита составляет всего три месяца. Давайте попробуем связать все эти величины в одну формулу.

Итак, в самом начале, как только ваш бывший одноклассник вышел из банка у него в кармане два миллиона, и это и есть его долг. При этом не год прошел, и не месяц, а это только самое начало:

Затем спустя один месяц на сумму задолженности будут начислены проценты. Как мы уже знаем для вычисления процентов достаточно умножить исходную задолженность на коэффициент, который считается по следующей формуле:

В нашем случае речь идет о ставке 20% годовых, т. е. мы можем записать:

Это коэффициент суммы, которая будет начисляться в год. Однако наш одноклассник не очень умный и он не читал договор, и на деле кредит ему выдали не под 20% в год, а под 20% в месяц. И уже к концу первого месяца на эту сумму будут начислены проценты, и она увеличится в 1,2 раза. Сразу после этого человеку будет необходимо оплатить оговоренную сумму, т. е. xрублей в месяц:

\[\left(2m\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2-x\]

И вновь наш паренек вносит платеж в размере $x$ рублей.

Затем к концу третьего месяца сумма его задолженности еще раз увеличивается на 20%:

\[\left(\left(2m\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2- x\right)1,2- x\]

И по условию за три месяца он должен полностью расплатиться, т. е. после внесения последнего третьего платежа его объем задолженности должен быть равен нулю. Мы можем записать такое уравнение:

\[\left(\left(2m\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2- x\right)1,2 - x=0\]

Давайте решать:

\[\begin{align}& \left(2m\cdot {{1,2}^{2}}- x\cdot 1,2- x\right)\cdot 1,2- x=0 \\& 2m\cdot {{1,2}^{3}}- x\cdot {{1,2}^{2}}- x\cdot 1,2- x=0 \\& 2m\cdot {{1,2}^{3}}=\cdot {{1,2}^{2}}+\cdot 1,2+ \\& 2m\cdot {{1,2}^{3}}=\left({{1,2}^{2}}+1,2+1 \right) \\\end{align}\]

Перед нами вновь геометрическая прогрессия, а точнее, сумма трех элементов геометрической прогрессии. Давайте перепишем ее в порядке возрастания элементов:

Теперь нам нужно найти сумму трех элементов геометрической прогрессии. Давайте запишем:

\[\begin{align}& {{b}_{1}}=1; \\& q=1,2 \\\end{align}\]

Теперь найдем сумму геометрической прогрессии:

\[{{S}_{3}}=1\cdot \frac{{{1,2}^{3}}-1}{1,2-1}\]

Следует напомнить, что сумма геометрической прогрессии с такими параметрами $\left({{b}_{1}};q \right)$ считается по формуле:

\[{{S}_{n}}={{b}_{1}}\cdot \frac{{{q}^{n}}-1}{q-1}\]

Вот этой формулой мы только что и воспользовались. Подставляем эту формулу в наше выражение:

Для дальнейших вычислений нам следует узнать, чему равна ${{1,2}^{3}}$. К сожалению, в этом случае мы уже не можем расписать как в прошлый раз в виде двойного квадрата, но зато можем посчитать так:

\[\begin{align}& {{1,2}^{3}}={{1,2}^{2}}\cdot 1,2 \\& {{1,2}^{3}}=1,44\cdot 1,2 \\& {{1,2}^{3}}=1,728 \\\end{align}\]

Переписываем наше выражение:

Это классическое линейное выражение. Давайте вернемся к следующей формуле:

По сути, если обобщить ее, то мы получим формулу, связывающую проценты, кредиты, платежи и сроки. Формула звучит следующим образом:

Вот она, самая главная формула сегодняшнего видеоурока, с помощью которой считается не менее 80% всех экономических задач из ЕГЭ по математике во второй части.

Чаще всего в реальных задачах у вас будет спрашиваться платеж, либо чуть реже кредит, т. е. общая сумма задолженности, которая была у нашего одноклассника в самом начале платежей. В более сложных задачах вас попросят найти процент, ну а совсем сложных, которые мы разберем в отдельном видеоуроке от вас попросят найти сроки, в течение которых при данных параметрах кредита и платежа наш безработный одноклассник сможет полностью расплатится с банком.

Возможно, кто-то сейчас подумает, что я являюсь яростным противником кредитов, финансов и вообще банковской системы. Так вот, ничего подобного! Напротив, я считаю, что кредитные инструменты очень полезны и крайне необходимы нашей экономике, но только при условии, что кредит берется на развитие бизнеса. В крайнем случае, можно взять кредит на покупку жилья, т. е. ипотеку либо на неотложное медицинское лечение — все, других причин взять кредит просто не существует. А всевозможные безработные, которые берут кредиты на покупку «понтов» и при этом совершенно не задумываются о последствиях в итоге и становятся причиной кризисов и проблем в нашей экономике.

Возвращаясь к теме сегодняшнего урока, хотел бы отметить, что знать эту формулу, связывающую кредиты платежи и проценты, также необходимо как и сумму геометрической прогрессии. Именно с помощью этих формул решаются реальные экономические задачи из ЕГЭ по математике. Ну, а теперь, когда вы все это прекрасно знаете, когда понимаете, что такое кредит и почему его не стоит брать, переходим к решению реальных экономических задач из ЕГЭ по математике.

Решаем реальные задачи из ЕГЭ по математике

Пример № 1

Итак, первая задача:

31 декабря 2014 года Алексей взял в банке 9282000 рублей в кредит под 10% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на 10%), затем Алексей переводит в банк Х рублей. Какой должна быть сумма Х, чтобы Алексей выплатил долг четырьмя равными платежами (т.е. за четыре года)?

Итак, это задача про кредит, поэтому сразу записываем нашу формулу:

Кредит нам известен — 9282000 рублей.

С процентами мы сейчас разберемся. У нас речь идет о 10% в задаче. Следовательно, мы можем их перевести:

Мы можем составить уравнение:

У нас получилось обычное линейное уравнение относительно $x$, хотя с достаточно грозными коэффициентами. Давайте попробуем его решить. Для начала найдем выражение ${{1,1}^{4}}$:

$\begin{align}& {{1,1}^{4}}={{\left({{1,1}^{2}} \right)}^{2}} \\& 1,1\cdot 1,1=1,21 \\& {{1,1}^{4}}=1,4641 \\\end{align}$

Теперь перепишем уравнение:

\[\begin{align}& 9289000\cdot 1,4641=x\cdot \frac{1,4641-1}{0,1} \\& 9282000\cdot 1,4641=x\cdot \frac{0,4641}{0,1}|:10000 \\& 9282000\cdot \frac{14641}{10000}=x\cdot \frac{4641}{1000} \\& \frac{9282\cdot 14641}{10}=x\cdot \frac{4641}{1000}|:\frac{4641}{1000} \\& x=\frac{9282\cdot 14641}{10}\cdot \frac{1000}{4641} \\& x=\frac{2\cdot 14641\cdot 1000}{10} \\& x=200\cdot 14641 \\& x=2928200 \\\end{align}\]\[\]

Все, наша задача с процентами решена.

Разумеется, что это была лишь самая простая задача с процентами из ЕГЭ по математике. В настоящем экзамене такой задачи, скорее всего, не будет. А если и будет, то считайте, что вам очень повезло. Ну, а для тех, кто любит считать и не любит рисковать, переходим к следующим более сложным задачам.

Пример № 2

31 декабря 2014 года Степан взял в банке 4004000 рублей в кредит под 20% годовых. Схема выплаты кредиты следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т. е.) увеличивает долг на 20%), затем Степан производит в банк платеж. Весь долг Степан выплатил за 3 равных платежа. На сколько рублей меньше он бы отдал банку, если бы смог выплатить долг за 2 равных платежа.

Перед нами задача про кредиты, поэтому записываем нашу формулу:

\[\]\

Что нам известно? Во-первых, нам известен общий кредит. Также нам известны проценты. Давайте найдем коэффициент:

Что касается $n$, то нужно внимательно прочитать условие задачи. Т. е. сначала нам необходимо посчитать, сколько он заплатил за три года, т. е. $n=3$, а затем выполнить еще раз те же самые действия но рассчитать платежи за два года. Давайте запишем уравнение для того случай, когда платеж выплачивается за три года:

Давайте решать это уравнение. Но для начала найдем выражение ${{1,2}^{3}}$:

\[\begin{align}& {{1,2}^{3}}=1,2\cdot {{1,2}^{2}} \\& {{1,2}^{3}}=1,44\cdot 1,2 \\& {{1,2}^{3}}=1,728 \\\end{align}\]

Переписываем наше выражение:

\[\begin{align}& 4004000\cdot 1,728=x\cdot \frac{1,728-1}{0,2} \\& 4004000\cdot \frac{1728}{1000}=x\cdot \frac{728}{200}|:\frac{728}{200} \\& x=\frac{4004\cdot 1728\cdot 200}{728} \\& x=\frac{4004\cdot 216\cdot 200}{91} \\& x=44\cdot 216\cdot 200 \\& x=8800\cdot 216 \\& x=1900800 \\\end{align}\]

Итого, наш платеж составит 1900800 рублей. Однако обратите внимании: в задаче от нас требовалось найти не ежемесячный платеж, а сколько всего Степан заплатит за три равных платежа, т. е. за все время пользования кредитом. Поэтому полученную величину необходимо еще раз умножить на три. Давайте посчитаем:

Итого за три равных платежа Степан заплатит 5702400 рублей. Вот во сколько ему обойдется пользование кредитом в течение трех лет.

Теперь рассмотрим вторую ситуацию, когда Степан поднапрягся, собрался и выплатил весь кредит не за три, а за два равных платежа. Записываем все ту же нашу формулу:

\[\begin{align}& 4004000\cdot {{1,2}^{2}}=x\cdot \frac{{{1,2}^{2}}-1}{1,2-1} \\& 4004000\cdot \frac{144}{100}=x\cdot \frac{11}{5}|\cdot \frac{5}{11} \\& x=\frac{40040\cdot 144\cdot 5}{11} \\& x=3640\cdot 144\cdot 5=3640\cdot 720 \\& x=2620800 \\\end{align}\]

Но это еще не все, потому что сейчас мы посчитали лишь один из двух платежей, поэтому всего Степан заплатит ровно в два раза больше:

Прекрасно, вот теперь мы и приблизились к окончательному ответу. Но обратите внимание: ни в коем случае мы еще не получили окончательный ответ, потому что за три года платежей Степан заплатит 5702400 рублей, а за два года платежей он заплатит 5241600 рублей, т. е. чуть-чуть поменьше. Насколько меньше? Чтобы это узнать, нужно из первого размера платежей вычесть второй размер платежей:

Итого окончательный ответ — 460800 рублей. Именно сколько сэкономит Степан, если будет платить не три года, а два.

Как видите, формула, связывающая проценты, сроки и платежи, существенно упрощает вычисления по сравнению с классическими таблицами и, к сожалению, по непонятным причинам в большинстве сборников задач, тем не менее, до сих пор используются именно таблицы.

Отдельно хотел бы обратить ваше внимание на срок, на который взят кредит, и размером ежемесячных платежей. Дело в том, что эта связь напрямую не просматривается из тех формул, которые мы записали, однако ее понимание необходимо для быстрого и эффективного решения настоящих задач на экзамене. На самом деле эта связь очень проста: чем на больший срок берется кредит, тем меньшая сумма будет в ежемесячных платежах, но тем большая сумма накопится за все время пользования кредитом. И наоборот: чем меньше срок, тем больше ежемесячный платеж, однако при этом меньше итоговая переплата и меньше общая стоимость кредита.

Разумеется, все эти утверждения будут равны лишь при условии, что сумма кредита и процентная ставка в обоих случаях одна и та же. В общем, пока просто запомните этот факт — он будет использоваться для решения самых сложных задач на эту тему, а пока мы разберем более простую задачу, где как раз и требуется найти общую сумму исходного кредита.

Пример № 3

Итак, еще одна задача на кредит и по совместительству последняя задача в сегодняшнем видеоуроке.

31 декабря 2014 года Василий взял в банке некоторую сумму в кредит под 13% годовых. Схема выплаты кредита следующая: 31 декабря каждого следующего года банк начисляет проценты на оставшуюся сумму долга (т.е. увеличивает долг на 13%), затем Василий переводит в банк 5 107 600 рублей. Какую сумму взял Василий в банке, если он выплатил долг двумя равными платежами (за два года)?

Итак, в первую очередь, эта задача вновь про кредиты, поэтому записываем нашу замечательную формулу:

Посмотрим, что нам известно из условия задачи. Во-первых, платеж — он равен 5107600 рублей в год. Во вторых проценты, поэтому мы можем найти коэффициент:

Кроме того, согласно условию задачи Василий взял в банке кредит на два года, т.е. выплатил двумя равными платежами, следовательно, $n=2$. Давайте все подставим и также заметим, что кредит нам неизвестен, т.е. та сумма, которую он взял, и обозначим ее за $x$. Получим:

\[{{1,13}^{2}}=1,2769\]

Перепишем наше уравнение с учетом этого факта:

\[\begin{align}& x\cdot \frac{12769}{10000}=5107600\cdot \frac{1,2769-1}{0,13} \\& x\cdot \frac{12769}{10000}=\frac{5107600\cdot 2769}{1300}|:\frac{12769}{10000} \\& x=\frac{51076\cdot 2769}{13}\cdot \frac{10000}{12769} \\& x=4\cdot 213\cdot 10000 \\& x=8520000 \\\end{align}\]

Все, это и есть окончательный ответ. Именно такую сумму Василий взял в кредит в самом начале.

Теперь понятно, почему в этой задаче нам предлагается взять кредит лишь на два года, потому что здесь фигурируют двузначные проценты, а именно 13%, которые в квадрате дают уже довольно «зверское» число. Но и это еще не предел — в следующем отдельном уроке мы рассмотрим более сложные задачи, где будет требоваться найти срок кредита, а ставка будет составлять один, два или три процента.

В общем, учитесь решать задачи на вклады и кредиты, готовьтесь к экзаменам и сдавайте их «отлично». А если что-то непонятно в материалах сегодняшнего видеоурока, то не стесняйтесь — пишите, звоните, и я постараюсь вам помочь.